Номер 1008, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1008, страница 221.

1008. Преобразуйте выражение:

а) $\left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2} \cdot 12xy^5;$

б) $4a^7b^{-1} \cdot \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1};$

В) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{-6};$

Г) $\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3.$

а) $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} \cdot 12xy^5$

Сначала преобразуем первый множитель. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком: $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} = (\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2}$.

Теперь возведем в квадрат каждый множитель в числителе и знаменателе, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(3y^{-2})^2}{(2x^{-1})^2} = \frac{3^2(y^{-2})^2}{2^2(x^{-1})^2} = \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}}$.

Далее избавимся от отрицательных степеней, переместив переменные из числителя в знаменатель и наоборот: $a^{-n} = 1/a^n$.
$\frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} = \frac{9x^2}{4y^4}$.

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель $12xy^5$:
$\frac{9x^2}{4y^4} \cdot 12xy^5 = \frac{9x^2 \cdot 12xy^5}{4y^4}$.

Сократим числовые коэффициенты ($\frac{12}{4} = 3$) и сгруппируем переменные, используя правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{9 \cdot 12}{4} \cdot x^2 \cdot x \cdot \frac{y^5}{y^4} = 9 \cdot 3 \cdot x^{2+1} \cdot y^{5-4} = 27x^3y$.

Ответ: $27x^3y$

б) $4a^7b^{-1} \cdot (\frac{ab}{5})^{-1}$

Преобразуем множитель в скобках, возведенный в отрицательную степень, "перевернув" дробь:
$(\frac{ab}{5})^{-1} = \frac{5}{ab}$.

Также преобразуем $b^{-1}$ в $\frac{1}{b}$. Подставим оба преобразования в исходное выражение:
$4a^7 \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{5}{ab}$.

Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{4a^7 \cdot 5}{b \cdot ab} = \frac{20a^7}{ab^2}$.

Сократим полученную дробь, разделив степени с одинаковым основанием:
$\frac{20a^{7-1}}{b^2} = \frac{20a^6}{b^2}$.

Ответ: $\frac{20a^6}{b^2}$

в) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot (\frac{a}{b})^{-6}$

Возведем в квадрат первый множитель, применяя степень к каждому элементу внутри скобок:
$(2a^{-2}b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot (b^3)^2 = 4a^{-4}b^6$.

Преобразуем второй множитель с отрицательной степенью:
$(\frac{a}{b})^{-6} = (\frac{b}{a})^6 = \frac{b^6}{a^6}$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$4a^{-4}b^6 \cdot \frac{b^6}{a^6} = \frac{4a^{-4}b^6b^6}{a^6}$.

Используем свойства степеней для упрощения:
$\frac{4b^{6+6}}{a^6 \cdot a^4} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}$.

Ответ: $\frac{4b^{12}}{a^{10}}$

г) $(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3$

Преобразуем первый множитель, "перевернув" дробь из-за отрицательной степени:
$(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} = \frac{y^3}{2x^2}$.

Возведем в куб второй множитель, применяя степень к каждому элементу внутри скобок:
$(x^{-1}y)^3 = (x^{-1})^3 \cdot y^3 = x^{-3}y^3$.

Перемножим полученные результаты:
$\frac{y^3}{2x^2} \cdot x^{-3}y^3 = \frac{y^3 \cdot x^{-3} \cdot y^3}{2x^2}$.

Сгруппируем переменные и избавимся от отрицательной степени:
$\frac{y^{3+3} \cdot x^{-3}}{2x^2} = \frac{y^6}{2x^2 \cdot x^3} = \frac{y^6}{2x^{2+3}} = \frac{y^6}{2x^5}$.

Ответ: $\frac{y^6}{2x^5}$