Номер 1011, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1011, страница 222.

1011. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{1}{|x| - x}$;

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

а) $y = \frac{1}{|x| - x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| - x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.

Решим уравнение:

$|x| - x = 0$

$|x| = x$

Это равенство по определению модуля верно для всех неотрицательных чисел, то есть при $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x - x = 0$. Следовательно, все неотрицательные значения $x$ не входят в область определения функции.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x - x = -2x$. Поскольку $x < 0$, то $-2x \ne 0$. Следовательно, все отрицательные значения $x$ входят в область определения функции.

Таким образом, область определения функции — это множество всех отрицательных чисел, то есть $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| + x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.

Решим уравнение:

$|x| + x = 0$

$|x| = -x$

Это равенство по определению модуля верно для всех неположительных чисел, то есть при $x \le 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \le 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x + x = 0$. Следовательно, все неположительные значения $x$ не входят в область определения функции.
2. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x + x = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x \ne 0$. Следовательно, все положительные значения $x$ входят в область определения функции.

Таким образом, область определения функции — это множество всех положительных чисел, то есть $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; \infty)$.