Номер 1010, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1010, страница 222.

1010. Решите уравнение

$\frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7$

Данное уравнение является дробно-рациональным.

$ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

$ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $

Следовательно, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $-1$ и $1$.

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ (x + 1)(x - 1) $. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (x - 1) $, а второй — на $ (x + 1) $.

$ \frac{(2x - 7)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{(3x + 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 7 $

Выполним сложение дробей в левой части, записав сумму числителей над общим знаменателем:

$ \frac{(2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)}{x^2 - 1} = 7 $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2x - 7)(x - 1) = 2x^2 - 2x - 7x + 7 = 2x^2 - 9x + 7 $

$ (3x + 2)(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2 $

Подставим полученные выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(2x^2 - 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2)}{x^2 - 1} = 7 $

$ \frac{5x^2 - 4x + 9}{x^2 - 1} = 7 $

Теперь, зная, что $x^2 - 1 \neq 0$ (согласно ОДЗ), мы можем умножить обе части уравнения на $x^2 - 1$:

$ 5x^2 - 4x + 9 = 7(x^2 - 1) $

$ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 $

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 0 = 7x^2 - 5x^2 + 4x - 7 - 9 $

$ 2x^2 + 4x - 16 = 0 $

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -2 $

Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -8 $

Методом подбора находим корни: $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 2 $.

Оба найденных корня ($ -4 $ и $ 2 $) входят в область допустимых значений, так как они не равны $-1$ и $1$.

Ответ: -4; 2.