Номер 1009, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1009, страница 221.

1009. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $8x^2 - 6x + n = 0$

и $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$. Найдите $n$.

Дано квадратное уравнение $8x^2 - 6x + n = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $8x^2 - 6x + n = 0$ коэффициенты равны: $a = 8$, $b = -6$, $c = n$.

Тогда сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{8}$

По условию задачи известно, что $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$. Преобразуем это выражение:

$x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приводя дроби к общему знаменателю $x_1 \cdot x_2$, получаем:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$

Теперь мы можем подставить в это выражение значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6$

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{n} = 6$

$\frac{24}{4n} = 6$

$\frac{6}{n} = 6$

Из этого уравнения следует, что $n=1$.

Проверим, имеет ли уравнение корни при $n=1$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что удовлетворяет условию.

Ответ: 1