Страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1002. Представьте степень в виде произведения:

а) $(a^{-1}b^{-1})^{-2}$;

б) $(x^3y^{-1})^2$;

в) $(0,5a^{-3}b^5)^{-12}$;

г) $(-2m^5n^{-3})^2$;

д) $(\frac{1}{3}p^{-2}q^2)^{-3}$;

е) $(-0,5x^{-3}y^4)^3$.

а) Чтобы представить степень $(a^{-1}b^{-1})^{-2}$ в виде произведения, необходимо каждый множитель в скобках возвести в эту степень. Для этого используем свойства степени: $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{-1}b^{-1})^{-2} = (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2} = a^{(-1) \cdot (-2)} \cdot b^{(-1) \cdot (-2)} = a^2b^2$.

Ответ: $a^2b^2$.

б) Для выражения $(x^3y^{-1})^2$ применим те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

$(x^3y^{-1})^2 = (x^3)^2 \cdot (y^{-1})^2 = x^{3 \cdot 2} \cdot y^{(-1) \cdot 2} = x^6y^{-2}$.

Ответ: $x^6y^{-2}$.

в) Рассмотрим выражение $(0,5a^{-3}b^5)^{-12}$. Возведем каждый множитель в степень -12.

$(0,5a^{-3}b^5)^{-12} = (0,5)^{-12} \cdot (a^{-3})^{-12} \cdot (b^5)^{-12}$.

Вычислим значение каждого множителя по отдельности:

$(0,5)^{-12} = (\frac{1}{2})^{-12} = 2^{12} = 4096$.

$(a^{-3})^{-12} = a^{(-3) \cdot (-12)} = a^{36}$.

$(b^5)^{-12} = b^{5 \cdot (-12)} = b^{-60}$.

Объединив результаты, получаем произведение: $4096a^{36}b^{-60}$.

Ответ: $4096a^{36}b^{-60}$.

г) Упростим выражение $(-2m^5n^{-3})^2$. Возведем в квадрат каждый множитель в скобках.

$(-2m^5n^{-3})^2 = (-2)^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^{-3})^2 = 4 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot n^{(-3) \cdot 2} = 4m^{10}n^{-6}$.

Ответ: $4m^{10}n^{-6}$.

д) Представим в виде произведения степень $(\frac{1}{3}p^{-2}q^2)^{-3}$.

$(\frac{1}{3}p^{-2}q^2)^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} \cdot (p^{-2})^{-3} \cdot (q^2)^{-3}$.

Вычислим каждый множитель:

$(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$.

$(p^{-2})^{-3} = p^{(-2) \cdot (-3)} = p^6$.

$(q^2)^{-3} = q^{2 \cdot (-3)} = q^{-6}$.

Итоговое выражение имеет вид: $27p^6q^{-6}$.

Ответ: $27p^6q^{-6}$.

е) Упростим выражение $(-0,5x^{-3}y^4)^3$. Возведем в куб каждый множитель.

$(-0,5x^{-3}y^4)^3 = (-0,5)^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^4)^3$.

Вычислим каждый множитель:

$(-0,5)^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} = -0,125$.

$(x^{-3})^3 = x^{(-3) \cdot 3} = x^{-9}$.

$(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$.

Итоговое выражение: $-0,125x^{-9}y^{12}$.

Ответ: $-0,125x^{-9}y^{12}$.

1003. Преобразуйте в произведение:

a) $(6a^{-5}b)^{-1}$;

б) $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$;

в) $(-0,3x^{-5}y^{4})^{-2}$;

г) $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(6a^{-5}b)^{-1}$, нужно каждый множитель в скобках возвести в степень $-1$. Для этого мы воспользуемся свойством степени произведения: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(6a^{-5}b)^{-1} = 6^{-1} \cdot (a^{-5})^{-1} \cdot b^{-1}$

Далее, упростим каждый множитель, используя свойства степеней $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (для отрицательной степени) и $(x^m)^n = x^{mn}$ (для возведения степени в степень):

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \cdot (-1)} = a^5$

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

Теперь объединим полученные результаты в одно выражение:

$\frac{1}{6} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^5}{6b}$

Ответ: $\frac{a^5}{6b}$

б) Рассмотрим выражение $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$. По аналогии с предыдущим примером, возведем каждый множитель в степень $-2$.

$(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{3}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Упростим каждый множитель по отдельности. Для дроби в отрицательной степени используем правило $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:

$(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Для переменных используем правило возведения степени в степень:

$(a^{-1})^{-2} = a^{-1 \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{-3 \cdot (-2)} = b^6$

Объединим полученные множители в одно произведение:

$\frac{16}{9} \cdot a^2 \cdot b^6 = \frac{16a^2b^6}{9}$

Ответ: $\frac{16a^2b^6}{9}$

в) Преобразуем выражение $(-0,3x^{-5}y^4)^{-2}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$.

$(-0,3x^{-5}y^4)^{-2} = (-0,3)^{-2} \cdot (x^{-5})^{-2} \cdot (y^4)^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $-0,3$ в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$. Теперь упростим каждый множитель:

$(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$

$(x^{-5})^{-2} = x^{-5 \cdot (-2)} = x^{10}$

$(y^4)^{-2} = y^{4 \cdot (-2)} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}$

Перемножим полученные выражения, чтобы получить окончательный ответ:

$\frac{100}{9} \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^8} = \frac{100x^{10}}{9y^8}$

Ответ: $\frac{100x^{10}}{9y^8}$

г) Рассмотрим выражение $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$. Возведем каждый множитель в степень $-1$.

$(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot (p^{-6})^{-1} \cdot q^{-1}$

Теперь упростим каждый из полученных множителей:

$(\frac{7}{8})^{-1} = \frac{8}{7}$

$(p^{-6})^{-1} = p^{-6 \cdot (-1)} = p^6$

$q^{-1} = \frac{1}{q}$

Соединим все упрощенные части в одно выражение:

$\frac{8}{7} \cdot p^6 \cdot \frac{1}{q} = \frac{8p^6}{7q}$

Ответ: $\frac{8p^6}{7q}$

1004. Представьте в виде степени произведения выражение:

а) $0,0001x^{-4}$;

б) $32y^{-5}$;

в) $0,0081a^{8}b^{-12}$;

г) $10^n x^{-2n} y^{3n}$, где $n$ — целое число.

а) Чтобы представить выражение $0,0001x^{-4}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем. В данном случае, показатель степени у $x$ равен $-4$.

Представим числовой коэффициент $0,0001$ в виде степени с показателем $-4$.

Мы знаем, что $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$0,0001x^{-4} = 10^{-4}x^{-4}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, объединяем множители под одним показателем степени:

$10^{-4}x^{-4} = (10x)^{-4}$

Ответ: $(10x)^{-4}$

б) Чтобы представить выражение $32y^{-5}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем, равным $-5$.

Представим число $32$ в виде степени с показателем $-5$. Пусть это будет $a^{-5}=32$.

Тогда $a^{-5} = \frac{1}{a^5}$, значит $\frac{1}{a^5} = 32$, откуда $a^5 = \frac{1}{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$. Следовательно, $a = \frac{1}{2}$ или $a=0,5$.

Таким образом, $32 = (0,5)^{-5}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$32y^{-5} = (0,5)^{-5}y^{-5}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(0,5)^{-5}y^{-5} = (0,5y)^{-5}$

Ответ: $(0,5y)^{-5}$

в) В выражении $0,0081a^{8}b^{-12}$ показатели степеней переменных равны $8$ и $-12$. Наибольший общий делитель чисел $8$ и $12$ равен $4$. Попробуем представить все множители в виде степени с показателем $4$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$a^8 = (a^2)^4$

$b^{-12} = (b^{-3})^4$

Теперь представим число $0,0081$ в виде степени с показателем $4$.

$0,0081 = \frac{81}{10000} = \frac{3^4}{10^4} = (\frac{3}{10})^4 = (0,3)^4$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$0,0081a^{8}b^{-12} = (0,3)^4 (a^2)^4 (b^{-3})^4$

Используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$, объединяем множители:

$(0,3)^4 (a^2)^4 (b^{-3})^4 = (0,3a^2b^{-3})^4$

Ответ: $(0,3a^2b^{-3})^4$

г) В выражении $10^n x^{-2n} y^{3n}$ общим множителем в показателях степеней является $n$. Представим каждый множитель в виде степени с показателем $n$.

Используем свойство $(a^m)^k = a^{mk}$:

$10^n$ - уже в нужной форме.

$x^{-2n} = (x^{-2})^n$

$y^{3n} = (y^3)^n$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$10^n (x^{-2})^n (y^3)^n$

Используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$, объединяем все множители под одним показателем степени $n$:

$10^n (x^{-2})^n (y^3)^n = (10x^{-2}y^3)^n$

Ответ: $(10x^{-2}y^3)^n$

1005. Упростите выражение:

a) $\frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}};$

б) $\frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a};$

в) $\frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}};$

г) $\frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}}.$

а) Для упрощения выражения $ \frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби, умножив числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

$ \frac{12x^{-5} \cdot y}{y^{-6} \cdot 36x^{-9}} $

2. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$ \frac{12}{36} \cdot \frac{x^{-5}}{x^{-9}} \cdot \frac{y^1}{y^{-6}} $

3. Упростим каждую часть. Сократим коэффициенты и применим правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $

$ \frac{x^{-5}}{x^{-9}} = x^{-5 - (-9)} = x^{-5+9} = x^4 $

$ \frac{y^1}{y^{-6}} = y^{1 - (-6)} = y^{1+6} = y^7 $

4. Объединим полученные результаты:

$ \frac{1}{3} \cdot x^4 \cdot y^7 = \frac{x^4y^7}{3} $

Ответ: $ \frac{x^4y^7}{3} $

б) Для упрощения выражения $ \frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби:

$ \frac{63a^2 \cdot 18b^2}{2b^{-5} \cdot 7a} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{63 \cdot 18}{2 \cdot 7} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b^{-5}} $

3. Упростим каждую группу. Сократим числовые коэффициенты и применим свойства степеней:

$ \frac{63 \cdot 18}{14} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 18}{2 \cdot 7} = 9 \cdot 9 = 81 $

$ \frac{a^2}{a^1} = a^{2-1} = a $

$ \frac{b^2}{b^{-5}} = b^{2 - (-5)} = b^{2+5} = b^7 $

4. Объединим все части:

$ 81 \cdot a \cdot b^7 = 81ab^7 $

Ответ: $ 81ab^7 $

в) Для упрощения выражения $ \frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби, объединив их в одну:

$ \frac{5x^{-1}y^3 \cdot 9x^6}{3 \cdot y^{-2}} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{5 \cdot 9}{3} \cdot (x^{-1} \cdot x^6) \cdot \frac{y^3}{y^{-2}} $

3. Упростим каждую группу, используя правила умножения ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $) и деления ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $) степеней:

$ \frac{45}{3} = 15 $

$ x^{-1} \cdot x^6 = x^{-1+6} = x^5 $

$ \frac{y^3}{y^{-2}} = y^{3 - (-2)} = y^{3+2} = y^5 $

4. Запишем итоговое выражение:

$ 15x^5y^5 $

Ответ: $ 15x^5y^5 $

г) Для упрощения выражения $ \frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби:

$ \frac{16p^{-1}q^2 \cdot 25p^6}{5 \cdot 64q^{-8}} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} \cdot (p^{-1} \cdot p^6) \cdot \frac{q^2}{q^{-8}} $

3. Упростим каждую группу. Сократим коэффициенты и применим свойства степеней:

$ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} = \frac{16}{64} \cdot \frac{25}{5} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} $

$ p^{-1} \cdot p^6 = p^{-1+6} = p^5 $

$ \frac{q^2}{q^{-8}} = q^{2 - (-8)} = q^{2+8} = q^{10} $

4. Объединим все части:

$ \frac{5}{4} p^5 q^{10} = \frac{5p^5q^{10}}{4} $

Ответ: $ \frac{5p^5q^{10}}{4} $

1006. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{13x^{-2}}{y} \cdot \frac{y^{12}}{39x^{-3}};$

б) $\frac{5a^5}{b^{-7}} \cdot \frac{7b^{-3}}{25a};$

в) $\frac{p}{3c^{-2}} \cdot \frac{15c}{p^{-2}};$

г) $\frac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \frac{y}{13x^{25}}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{13x^{-2}}{y} \cdot \frac{y^{12}}{39x^{-3}}$

Для преобразования выражения перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{13x^{-2} \cdot y^{12}}{y \cdot 39x^{-3}}$

Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$\frac{13}{39} \cdot \frac{x^{-2}}{x^{-3}} \cdot \frac{y^{12}}{y}$

Упростим каждую группу. Сократим числовую дробь: $\frac{13}{39} = \frac{1}{3}$.

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для переменных:

Для переменной $x$: $\frac{x^{-2}}{x^{-3}} = x^{-2 - (-3)} = x^{-2 + 3} = x^1 = x$.

Для переменной $y$: $\frac{y^{12}}{y} = \frac{y^{12}}{y^1} = y^{12 - 1} = y^{11}$.

Собираем все части вместе:

$\frac{1}{3} \cdot x \cdot y^{11} = \frac{xy^{11}}{3}$

Ответ: $\frac{xy^{11}}{3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{5a^5}{b^{-7}} \cdot \frac{7b^{-3}}{25a}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{5a^5 \cdot 7b^{-3}}{b^{-7} \cdot 25a}$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{5 \cdot 7}{25} \cdot \frac{a^5}{a} \cdot \frac{b^{-3}}{b^{-7}}$

Упростим числовую часть: $\frac{35}{25} = \frac{7}{5}$.

Упростим переменные, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^5}{a^1} = a^{5-1} = a^4$.

Для переменной $b$: $\frac{b^{-3}}{b^{-7}} = b^{-3 - (-7)} = b^{-3+7} = b^4$.

Объединим полученные результаты:

$\frac{7}{5} \cdot a^4 \cdot b^4 = \frac{7a^4b^4}{5}$

Ответ: $\frac{7a^4b^4}{5}$

в)

Исходное выражение: $\frac{p}{3c^{-2}} \cdot \frac{15c}{p^{-2}}$

Объединим дроби, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{p \cdot 15c}{3c^{-2} \cdot p^{-2}}$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{15}{3} \cdot \frac{p}{p^{-2}} \cdot \frac{c}{c^{-2}}$

Упростим каждую часть. Коэффициенты: $\frac{15}{3} = 5$.

Применим свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $p$: $\frac{p^1}{p^{-2}} = p^{1 - (-2)} = p^{1+2} = p^3$.

Для переменной $c$: $\frac{c^1}{c^{-2}} = c^{1 - (-2)} = c^{1+2} = c^3$.

Перемножим упрощенные части:

$5 \cdot p^3 \cdot c^3 = 5p^3c^3$

Ответ: $5p^3c^3$

г)

Исходное выражение: $\frac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \frac{y}{13x^{25}}$

Перемножим дроби:

$\frac{26x^{17} \cdot y}{y^{-8} \cdot 13x^{25}}$

Сгруппируем отдельно коэффициенты и переменные:

$\frac{26}{13} \cdot \frac{x^{17}}{x^{25}} \cdot \frac{y}{y^{-8}}$

Упростим числовую дробь: $\frac{26}{13} = 2$.

Упростим дроби с переменными, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

Для переменной $x$: $\frac{x^{17}}{x^{25}} = x^{17-25} = x^{-8}$.

Для переменной $y$: $\frac{y^1}{y^{-8}} = y^{1 - (-8)} = y^{1+8} = y^9$.

Соберем результат: $2 \cdot x^{-8} \cdot y^9 = 2x^{-8}y^9$.

Чтобы избавиться от отрицательной степени в ответе, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2x^{-8}y^9 = \frac{2y^9}{x^8}$

Ответ: $\frac{2y^9}{x^8}$

1007. Упростите выражение:

а) $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot \left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)^{-3};$

б) $\left(\frac{a^{-3}b^4}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{a^{-2}b^3}\right)^{-3};$

в) $\left(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2}\right)^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2};$

г) $\left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^2.$

а)

Для упрощения выражения $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(0,25x^{-4}y^{-3})^2$. Для этого возведем в квадрат каждый сомножитель в скобках. Используем свойство степени $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(0,25)^2 \cdot (x^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = 0,0625 \cdot x^{-4 \cdot 2} \cdot y^{-3 \cdot 2} = 0,0625x^{-8}y^{-6}$.

Представим $0,0625$ в виде обыкновенной дроби: $0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$.

Таким образом, первый множитель равен $\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{x^{-3}})^3 = \frac{(4y^2)^3}{(x^{-3})^3} = \frac{4^3(y^2)^3}{x^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{x^{-9}}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}) \cdot (\frac{64y^6}{x^{-9}}) = \frac{1 \cdot 64}{16} \cdot \frac{x^{-8}}{x^{-9}} \cdot \frac{y^{-6}}{1} \cdot y^6 = 4 \cdot x^{-8 - (-9)} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot x^{-8+9} \cdot y^0 = 4 \cdot x^1 \cdot 1 = 4x$.

Ответ: $4x$

б)

Для упрощения выражения $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2}$.

$(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} = (\frac{9}{a^{-3}b^4})^2 = \frac{9^2}{(a^{-3})^2(b^4)^2} = \frac{81}{a^{-6}b^8}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$.

$(\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3} = (\frac{a^{-2}b^3}{3})^3 = \frac{(a^{-2})^3(b^3)^3}{3^3} = \frac{a^{-6}b^9}{27}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{81}{a^{-6}b^8} \cdot \frac{a^{-6}b^9}{27} = \frac{81}{27} \cdot \frac{a^{-6}}{a^{-6}} \cdot \frac{b^9}{b^8} = 3 \cdot 1 \cdot b^{9-8} = 3b$.

Ответ: $3b$

в)

Для упрощения выражения $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2}$.

$(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} = (\frac{10a^5b^2}{c^{-4}})^2 = \frac{(10a^5b^2)^2}{(c^{-4})^2} = \frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}}$.

2. Упростим второй множитель $(5a^3bc^2)^{-2}$.

$(5a^3bc^2)^{-2} = \frac{1}{(5a^3bc^2)^2} = \frac{1}{25a^6b^2c^4}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}} \cdot \frac{1}{25a^6b^2c^4} = \frac{100}{25} \cdot \frac{a^{10}}{a^6} \cdot \frac{b^4}{b^2} \cdot \frac{1}{c^{-8}c^4} = 4 \cdot a^{10-6} \cdot b^{4-2} \cdot \frac{1}{c^{-8+4}} = 4a^4b^2 \frac{1}{c^{-4}} = 4a^4b^2c^4$.

Ответ: $4a^4b^2c^4$

г)

Для упрощения выражения $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} \cdot (\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3}$.

$(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} = (\frac{6z}{x^2y^{-3}})^3 = \frac{(6z)^3}{(x^2y^{-3})^3} = \frac{6^3z^3}{(x^2)^3(y^{-3})^3} = \frac{216z^3}{x^6y^{-9}}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$.

$(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2 = \frac{(x^2y^{-2})^2}{(9z)^2} = \frac{(x^2)^2(y^{-2})^2}{9^2z^2} = \frac{x^4y^{-4}}{81z^2}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{216z^3}{x^6y^{-9}} \cdot \frac{x^4y^{-4}}{81z^2} = \frac{216}{81} \cdot \frac{x^4}{x^6} \cdot \frac{y^{-4}}{y^{-9}} \cdot \frac{z^3}{z^2}$.

Сократим коэффициент: $\frac{216}{81} = \frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени переменных:

$\frac{x^4}{x^6} = x^{4-6} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

$\frac{y^{-4}}{y^{-9}} = y^{-4 - (-9)} = y^{-4+9} = y^5$.

$\frac{z^3}{z^2} = z^{3-2} = z$.

Соберем все вместе: $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot y^5 \cdot z = \frac{8y^5z}{3x^2}$.

Ответ: $\frac{8y^5z}{3x^2}$

1008. Преобразуйте выражение:

а) $\left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2} \cdot 12xy^5;$

б) $4a^7b^{-1} \cdot \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1};$

В) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{-6};$

Г) $\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3.$

а) $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} \cdot 12xy^5$

Сначала преобразуем первый множитель. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком: $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} = (\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2}$.

Теперь возведем в квадрат каждый множитель в числителе и знаменателе, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(3y^{-2})^2}{(2x^{-1})^2} = \frac{3^2(y^{-2})^2}{2^2(x^{-1})^2} = \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}}$.

Далее избавимся от отрицательных степеней, переместив переменные из числителя в знаменатель и наоборот: $a^{-n} = 1/a^n$.
$\frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} = \frac{9x^2}{4y^4}$.

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель $12xy^5$:
$\frac{9x^2}{4y^4} \cdot 12xy^5 = \frac{9x^2 \cdot 12xy^5}{4y^4}$.

Сократим числовые коэффициенты ($\frac{12}{4} = 3$) и сгруппируем переменные, используя правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{9 \cdot 12}{4} \cdot x^2 \cdot x \cdot \frac{y^5}{y^4} = 9 \cdot 3 \cdot x^{2+1} \cdot y^{5-4} = 27x^3y$.

Ответ: $27x^3y$

б) $4a^7b^{-1} \cdot (\frac{ab}{5})^{-1}$

Преобразуем множитель в скобках, возведенный в отрицательную степень, "перевернув" дробь:
$(\frac{ab}{5})^{-1} = \frac{5}{ab}$.

Также преобразуем $b^{-1}$ в $\frac{1}{b}$. Подставим оба преобразования в исходное выражение:
$4a^7 \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{5}{ab}$.

Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{4a^7 \cdot 5}{b \cdot ab} = \frac{20a^7}{ab^2}$.

Сократим полученную дробь, разделив степени с одинаковым основанием:
$\frac{20a^{7-1}}{b^2} = \frac{20a^6}{b^2}$.

Ответ: $\frac{20a^6}{b^2}$

в) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot (\frac{a}{b})^{-6}$

Возведем в квадрат первый множитель, применяя степень к каждому элементу внутри скобок:
$(2a^{-2}b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot (b^3)^2 = 4a^{-4}b^6$.

Преобразуем второй множитель с отрицательной степенью:
$(\frac{a}{b})^{-6} = (\frac{b}{a})^6 = \frac{b^6}{a^6}$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$4a^{-4}b^6 \cdot \frac{b^6}{a^6} = \frac{4a^{-4}b^6b^6}{a^6}$.

Используем свойства степеней для упрощения:
$\frac{4b^{6+6}}{a^6 \cdot a^4} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}$.

Ответ: $\frac{4b^{12}}{a^{10}}$

г) $(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3$

Преобразуем первый множитель, "перевернув" дробь из-за отрицательной степени:
$(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} = \frac{y^3}{2x^2}$.

Возведем в куб второй множитель, применяя степень к каждому элементу внутри скобок:
$(x^{-1}y)^3 = (x^{-1})^3 \cdot y^3 = x^{-3}y^3$.

Перемножим полученные результаты:
$\frac{y^3}{2x^2} \cdot x^{-3}y^3 = \frac{y^3 \cdot x^{-3} \cdot y^3}{2x^2}$.

Сгруппируем переменные и избавимся от отрицательной степени:
$\frac{y^{3+3} \cdot x^{-3}}{2x^2} = \frac{y^6}{2x^2 \cdot x^3} = \frac{y^6}{2x^{2+3}} = \frac{y^6}{2x^5}$.

Ответ: $\frac{y^6}{2x^5}$

1009. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $8x^2 - 6x + n = 0$

и $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$. Найдите $n$.

Дано квадратное уравнение $8x^2 - 6x + n = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $8x^2 - 6x + n = 0$ коэффициенты равны: $a = 8$, $b = -6$, $c = n$.

Тогда сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{n}{8}$

По условию задачи известно, что $x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6$. Преобразуем это выражение:

$x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приводя дроби к общему знаменателю $x_1 \cdot x_2$, получаем:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$

Теперь мы можем подставить в это выражение значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6$

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{n} = 6$

$\frac{24}{4n} = 6$

$\frac{6}{n} = 6$

Из этого уравнения следует, что $n=1$.

Проверим, имеет ли уравнение корни при $n=1$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что удовлетворяет условию.

Ответ: 1