Страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Степенью числа a, не равного нулю, с целым отрицательным показателем -n (где n – натуральное число) называется число, обратное степени этого же числа a с показателем n.

Формулой это определение записывается следующим образом:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это определение имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Основание степени a не должно быть равно нулю ($a \neq 0$). Это требование необходимо, так как если бы $a=0$, то в знаменателе дроби $\frac{1}{a^n}$ оказался бы ноль, а деление на ноль в математике не определено.
2. Показатель степени n является натуральным числом (то есть, $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), соответственно, -n является целым отрицательным числом.

Рассмотрим несколько примеров для иллюстрации:

• Пример 1: Вычислить $3^{-2}$.

  По определению, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

• Пример 2: Вычислить $(-5)^{-3}$.

  По определению, $(-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}$.

• Пример 3: Вычислить $(\frac{2}{5})^{-3}$.

  Для дробей удобно использовать следствие из определения: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
  Следовательно, $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Введение степени с целым отрицательным показателем позволяет обобщить свойства степени с натуральным показателем. Например, правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$ становится верным не только для $m > n$, но и для любых целых m и n.

Ответ: Степенью числа $a$ (где $a \neq 0$) с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется число $\frac{1}{a^n}$.

2 Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.

Свойство произведения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Это свойство справедливо для любого основания a (где $a \neq 0$) и любых целых показателей m и n.

Формула свойства произведения степеней:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Пример: Умножим $4^{-2}$ на $4^5$. Основание одинаковое (4), показатели целые (-2 и 5). Складываем показатели: $-2 + 5 = 3$.

$4^{-2} \cdot 4^5 = 4^{-2+5} = 4^3 = 64$

Ответ: Произведение двух степеней с одинаковым основанием $a \neq 0$ и целыми показателями $m$ и $n$ равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Свойство частного степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это свойство также справедливо для любого основания a (где $a \neq 0$) и любых целых показателей m и n.

Формула свойства частного степеней:

$a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Пример: Разделим $7^2$ на $7^4$. Основание одинаковое (7), показатели целые (2 и 4). Вычитаем из показателя делимого показатель делителя: $2 - 4 = -2$.

$7^2 : 7^4 = 7^{2-4} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Ответ: Частное двух степеней с одинаковым основанием $a \neq 0$ и целыми показателями $m$ и $n$ равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателя делимого и показателя делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

3. Как возвести степень в степень?

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой число, уже возведенное в одну степень, возводится в другую. Для выполнения этой операции существует специальное свойство степеней.

Правило
Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это правило можно записать в виде формулы:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Здесь $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — это ее показатели. Данное свойство справедливо для любых действительных показателей $m$ и $n$ при условии, что основание $a > 0$. Если показатели являются целыми числами, то правило применимо для любого ненулевого основания $a$.
Ответ: Основание остается без изменений, а показатели степеней перемножаются.

Доказательство
Рассмотрим выражение $(a^m)^n$. По определению степени, это выражение означает, что степень $a^m$ умножается сама на себя $n$ раз:
$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ множителей}}$
Далее, согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием, их показатели необходимо сложить:
$a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m = a^{\overbrace{m+m+\dots+m}^{n \text{ слагаемых}}}$
Сумма $n$ одинаковых слагаемых $m$ по определению умножения равна их произведению $m \cdot n$. Таким образом, мы приходим к итоговой формуле:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство основано на определении степени и правиле умножения степеней с одинаковым основанием.

Примеры
Рассмотрим применение правила на нескольких примерах.
1. Возведем $(5^2)^3$. Согласно правилу, основание 5 остается, а показатели 2 и 3 перемножаются:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$.
Для проверки можно вычислить и по-другому: $(5^2)^3 = 25^3 = 25 \cdot 25 \cdot 25 = 15625$. Результаты совпали.
2. Пример с переменной в основании: $(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$.
3. Пример с отрицательным показателем: $(a^3)^{-2} = a^{3 \cdot (-2)} = a^{-6} = \frac{1}{a^6}$.
4. Пример с дробным показателем: $(b^{1/2})^6 = b^{\frac{1}{2} \cdot 6} = b^3$.
Ответ: Примеры показывают применение правила $(a^m)^n = a^{mn}$ на числах и переменных с различными (целыми, отрицательными, дробными) показателями.

Как возвести произведение и частное в степень?

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты. Это правило можно записать в виде формулы:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Это свойство легко доказать, используя определение степени. Выражение $(a \cdot b)^n$ представляет собой произведение $n$ сомножителей, каждый из которых равен $(a \cdot b)$. Раскрыв скобки и перегруппировав множители, получим произведение $n$ множителей $a$ и $n$ множителей $b$, что и равно $a^n \cdot b^n$.

Пример 1: Числовое выражение.

Вычислим $(2 \cdot 3)^4$. Можно сначала выполнить действие в скобках: $(2 \cdot 3)^4 = 6^4 = 1296$. А можно применить правило: $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$.

Пример 2: Алгебраическое выражение.

Упростим $(5xy^2)^3$. Применяем правило к каждому множителю: $5$, $x$ и $y^2$.

$(5xy^2)^3 = 5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = 125 \cdot x^3 \cdot y^{2 \cdot 3} = 125x^3y^6$.

Ответ: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Чтобы возвести частное (или дробь) в степень, необходимо возвести в эту степень и делимое (числитель), и делитель (знаменатель). Результатом будет частное полученных степеней.

Формула для этого правила:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Это правило действует при условии, что делитель (знаменатель) не равен нулю: $b \neq 0$.

Пример 1: Числовое выражение.

Вычислим $(\frac{8}{4})^3$. Можно сначала разделить: $(\frac{8}{4})^3 = 2^3 = 8$. Либо применить правило: $(\frac{8}{4})^3 = \frac{8^3}{4^3} = \frac{512}{64} = 8$.

Пример 2: Алгебраическое выражение.

Упростим $(\frac{2a^4}{c^2})^5$. Возводим в степень числитель и знаменатель, а затем применяем другие свойства степеней:

$(\frac{2a^4}{c^2})^5 = \frac{(2a^4)^5}{(c^2)^5} = \frac{2^5 \cdot (a^4)^5}{(c^2)^5} = \frac{32 \cdot a^{4 \cdot 5}}{c^{2 \cdot 5}} = \frac{32a^{20}}{c^{10}}$.

Ответ: чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности. Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (где $b \neq 0$).

5 Какую запись числа называют его стандартным видом?

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Эта форма записи состоит из двух частей:

• Мантисса ($a$) — это число, которое больше или равно 1, но строго меньше 10 ($1 \le a < 10$). Это значит, что перед запятой в этом числе должна стоять ровно одна цифра, отличная от нуля.
• Порядок ($n$) — это целая степень числа 10. Порядок показывает, во сколько раз число больше или меньше мантиссы, и может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Стандартный вид особенно полезен для компактной записи очень больших и очень маленьких чисел, которые часто встречаются в науке и технике (например, в физике, астрономии, химии), а также для упрощения вычислений с ними.

Примеры:

• Число 345 000 в стандартном виде записывается как $3,45 \cdot 10^5$. Здесь мантисса $a = 3,45$, а порядок $n = 5$.
• Число 0,0078 в стандартном виде будет $7,8 \cdot 10^{-3}$. Здесь мантисса $a = 7,8$, а порядок $n = -3$.
• Число 5,21 уже удовлетворяет условию для мантиссы, поэтому его стандартный вид — это $5,21 \cdot 10^0$, так как $10^0 = 1$. Здесь порядок $n = 0$.
• Расстояние от Земли до Солнца примерно равно 149 600 000 км. В стандартном виде это $1,496 \cdot 10^8$ км.

Чтобы преобразовать число в стандартный вид, нужно переместить в нём десятичную запятую так, чтобы слева от неё осталась только одна ненулевая цифра. Количество позиций, на которое была сдвинута запятая, и будет являться порядком $n$. Если запятая сдвигалась влево (для чисел, больших или равных 10), порядок будет положительным. Если вправо (для чисел от 0 до 1) — отрицательным.

Ответ: Стандартным видом числа называют его запись в форме $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ является целым числом.

6. Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой числа, а $n$ — порядком числа. Стандартный вид используется для удобной записи очень больших или очень маленьких чисел.

Чтобы представить число в стандартном виде, нужно сдвинуть в нём десятичную запятую так, чтобы она оказалась сразу после первой значащей (то есть ненулевой) цифры. Количество разрядов, на которые была сдвинута запятая, определит порядок $n$.

Пример с большим числом

Возьмём число 457 000 000.

1. Находим первую значащую цифру. Это 4.
2. Ставим десятичную запятую после неё, чтобы получить мантиссу $a$, которая должна быть в пределах от 1 до 10. Получаем $a = 4,57$.
3. Считаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую. В числе 457 000 000 запятая неявно находится в конце (457 000 000,0). Чтобы получить 4,57, мы сдвинули запятую влево на 8 разрядов.
4. Так как мы сдвигали запятую влево (уменьшая исходное число для получения мантиссы), порядок $n$ будет положительным. Значит, $n = 8$.

В результате число 457 000 000 в стандартном виде записывается как $4,57 \times 10^8$.

Ответ: $457 000 000 = 4,57 \times 10^8$.

Пример с малым числом

Возьмём число 0,000062.

1. Находим первую значащую цифру. Это 6.
2. Ставим десятичную запятую после неё, чтобы получить мантиссу $a$. Получаем $a = 6,2$.
3. Считаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую. Чтобы из 0,000062 получить 6,2, мы сдвинули запятую вправо на 5 разрядов.
4. Так как мы сдвигали запятую вправо (увеличивая исходное число для получения мантиссы), порядок $n$ будет отрицательным. Значит, $n = -5$.

В результате число 0,000062 в стандартном виде записывается как $6,2 \times 10^{-5}$.

Ответ: $0,000062 = 6,2 \times 10^{-5}$.