Номер 4, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 4, страница 225.

Как возвести произведение и частное в степень?

Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты. Это правило можно записать в виде формулы:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Это свойство легко доказать, используя определение степени. Выражение $(a \cdot b)^n$ представляет собой произведение $n$ сомножителей, каждый из которых равен $(a \cdot b)$. Раскрыв скобки и перегруппировав множители, получим произведение $n$ множителей $a$ и $n$ множителей $b$, что и равно $a^n \cdot b^n$.

Пример 1: Числовое выражение.

Вычислим $(2 \cdot 3)^4$. Можно сначала выполнить действие в скобках: $(2 \cdot 3)^4 = 6^4 = 1296$. А можно применить правило: $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$.

Пример 2: Алгебраическое выражение.

Упростим $(5xy^2)^3$. Применяем правило к каждому множителю: $5$, $x$ и $y^2$.

$(5xy^2)^3 = 5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = 125 \cdot x^3 \cdot y^{2 \cdot 3} = 125x^3y^6$.

Ответ: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Возведение частного в степень

Чтобы возвести частное (или дробь) в степень, необходимо возвести в эту степень и делимое (числитель), и делитель (знаменатель). Результатом будет частное полученных степеней.

Формула для этого правила:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Это правило действует при условии, что делитель (знаменатель) не равен нулю: $b \neq 0$.

Пример 1: Числовое выражение.

Вычислим $(\frac{8}{4})^3$. Можно сначала разделить: $(\frac{8}{4})^3 = 2^3 = 8$. Либо применить правило: $(\frac{8}{4})^3 = \frac{8^3}{4^3} = \frac{512}{64} = 8$.

Пример 2: Алгебраическое выражение.

Упростим $(\frac{2a^4}{c^2})^5$. Возводим в степень числитель и знаменатель, а затем применяем другие свойства степеней:

$(\frac{2a^4}{c^2})^5 = \frac{(2a^4)^5}{(c^2)^5} = \frac{2^5 \cdot (a^4)^5}{(c^2)^5} = \frac{32 \cdot a^{4 \cdot 5}}{c^{2 \cdot 5}} = \frac{32a^{20}}{c^{10}}$.

Ответ: чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности. Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (где $b \neq 0$).