Номер 1024, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Стандартный вид числа. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1024, страница 224.

1024. Найдите значение выражения $(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Для того чтобы найти значение выражения $(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}$, мы сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

Наша цель — представить подкоренное выражение $7+4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата некоторой суммы, то есть в виде $(a+b)^2$. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Сравнивая $a^2+2ab+b^2$ с $7+4\sqrt{3}$, мы можем сопоставить члены. Мы ищем такие $a$ и $b$, для которых $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.

Из второго равенства получаем $ab = 2\sqrt{3}$. Методом подбора можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Проверим, выполняется ли для этой пары первое равенство: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.

Следовательно, мы можем утверждать, что $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3})\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$

Поскольку выражение $2+\sqrt{3}$ положительно, корень из его квадрата равен самому выражению:

$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

В результате исходное выражение превращается в произведение:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$

Это выражение является формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$. В нашем случае $x=2$ и $y=\sqrt{3}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Ответ: 1