Номер 3, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 3, страница 225.

3. Как возвести степень в степень?

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой число, уже возведенное в одну степень, возводится в другую. Для выполнения этой операции существует специальное свойство степеней.

Правило
Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это правило можно записать в виде формулы:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Здесь $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — это ее показатели. Данное свойство справедливо для любых действительных показателей $m$ и $n$ при условии, что основание $a > 0$. Если показатели являются целыми числами, то правило применимо для любого ненулевого основания $a$.
Ответ: Основание остается без изменений, а показатели степеней перемножаются.

Доказательство
Рассмотрим выражение $(a^m)^n$. По определению степени, это выражение означает, что степень $a^m$ умножается сама на себя $n$ раз:
$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ множителей}}$
Далее, согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием, их показатели необходимо сложить:
$a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m = a^{\overbrace{m+m+\dots+m}^{n \text{ слагаемых}}}$
Сумма $n$ одинаковых слагаемых $m$ по определению умножения равна их произведению $m \cdot n$. Таким образом, мы приходим к итоговой формуле:
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство основано на определении степени и правиле умножения степеней с одинаковым основанием.

Примеры
Рассмотрим применение правила на нескольких примерах.
1. Возведем $(5^2)^3$. Согласно правилу, основание 5 остается, а показатели 2 и 3 перемножаются:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$.
Для проверки можно вычислить и по-другому: $(5^2)^3 = 25^3 = 25 \cdot 25 \cdot 25 = 15625$. Результаты совпали.
2. Пример с переменной в основании: $(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$.
3. Пример с отрицательным показателем: $(a^3)^{-2} = a^{3 \cdot (-2)} = a^{-6} = \frac{1}{a^6}$.
4. Пример с дробным показателем: $(b^{1/2})^6 = b^{\frac{1}{2} \cdot 6} = b^3$.
Ответ: Примеры показывают применение правила $(a^m)^n = a^{mn}$ на числах и переменных с различными (целыми, отрицательными, дробными) показателями.