Номер 1025, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Стандартный вид числа. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1025, страница 224.

1025. При каком значении $m$ сумма корней уравнения $3x^2 - 18x + m = 0$ равна произведению этих корней?

Дано квадратное уравнение $3x^2 - 18x + m = 0$. Это уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -18$, $c = m$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим коэффициенты из нашего уравнения в эти формулы:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-18}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{m}{3}$

По условию задачи, сумма корней должна быть равна их произведению:
$x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$

Приравняем полученные для нашего уравнения выражения для суммы и произведения корней:
$6 = \frac{m}{3}$

Теперь решим это простое уравнение, чтобы найти $m$:
$m = 6 \cdot 3$
$m = 18$

Важно убедиться, что при найденном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 324 - 216 = 108$.
Поскольку $D = 108 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, наше решение верно.

Ответ: 18.