Номер 1, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1, страница 225.

1 Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Степенью числа a, не равного нулю, с целым отрицательным показателем -n (где n – натуральное число) называется число, обратное степени этого же числа a с показателем n.

Формулой это определение записывается следующим образом:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это определение имеет смысл при выполнении двух условий:

1. Основание степени a не должно быть равно нулю ($a \neq 0$). Это требование необходимо, так как если бы $a=0$, то в знаменателе дроби $\frac{1}{a^n}$ оказался бы ноль, а деление на ноль в математике не определено.
2. Показатель степени n является натуральным числом (то есть, $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), соответственно, -n является целым отрицательным числом.

Рассмотрим несколько примеров для иллюстрации:

• Пример 1: Вычислить $3^{-2}$.

  По определению, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

• Пример 2: Вычислить $(-5)^{-3}$.

  По определению, $(-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}$.

• Пример 3: Вычислить $(\frac{2}{5})^{-3}$.

  Для дробей удобно использовать следствие из определения: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
  Следовательно, $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Введение степени с целым отрицательным показателем позволяет обобщить свойства степени с натуральным показателем. Например, правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$ становится верным не только для $m > n$, но и для любых целых m и n.

Ответ: Степенью числа $a$ (где $a \neq 0$) с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется число $\frac{1}{a^n}$.