Номер 1027, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Стандартный вид числа. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1027, страница 224.

1027. Замените $a$ каким-либо натуральным числом так, чтобы не имела решений система неравенств:

а) $\begin{cases} 3x > 40,8, \\ 5x - a < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 1 - 6x < 19, \\ 4x - a < 6. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x > 40,8, \\ 5x - a < 0; \end{cases} $$ Для того чтобы найти значение $a$, при котором система не имеет решений, решим каждое неравенство относительно $x$.

1) Решаем первое неравенство:
$3x > 40,8$
$x > \frac{40,8}{3}$
$x > 13,6$

2) Решаем второе неравенство:
$5x - a < 0$
$5x < a$
$x < \frac{a}{5}$

Мы получили систему: $$ \begin{cases} x > 13,6, \\ x < \frac{a}{5}; \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение интервалов $(13,6; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a}{5})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это условие выполняется, когда верхняя граница второго интервала меньше или равна нижней границе первого: $$ \frac{a}{5} \le 13,6 $$ Теперь решим это неравенство относительно $a$: $$ a \le 13,6 \cdot 5 $$ $$ a \le 68 $$ По условию задачи, $a$ — натуральное число. Следовательно, мы можем выбрать любое натуральное число $a$, удовлетворяющее условию $a \le 68$. Например, $a=1$, $a=10$, или $a=68$.

Ответ: например, $a = 68$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 1 - 6x < 19, \\ 4x - a < 6. \end{cases} $$ Так же, как и в предыдущем пункте, решим каждое неравенство относительно $x$.

1) Решаем первое неравенство:
$1 - 6x < 19$
$-6x < 19 - 1$
$-6x < 18$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{18}{-6}$
$x > -3$

2) Решаем второе неравенство:
$4x - a < 6$
$4x < a + 6$
$x < \frac{a + 6}{4}$

Мы получили систему: $$ \begin{cases} x > -3, \\ x < \frac{a + 6}{4}; \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение интервалов $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a + 6}{4})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это произойдет, если верхняя граница второго интервала будет меньше или равна нижней границе первого: $$ \frac{a + 6}{4} \le -3 $$ Решим полученное неравенство относительно $a$: $$ a + 6 \le -3 \cdot 4 $$ $$ a + 6 \le -12 $$ $$ a \le -12 - 6 $$ $$ a \le -18 $$ По условию, $a$ должно быть натуральным числом, то есть $a \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Однако, условие $a \le -18$ не выполняется ни для одного натурального числа. Это означает, что для любого натурального $a$ неравенство $\frac{a+6}{4} > -3$ будет верным, и система всегда будет иметь решения (интервал $(-3; \frac{a+6}{4})$ не будет пустым).

Ответ: не существует такого натурального числа $a$.