Страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1037. Имеются следующие данные о среднесуточной переработке сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

Суточная переработка сахара, тыс. ц: 12–15, 15–18, 18–21

Число заводов: 4, 6, 3

Заменяя каждый интервал его серединой, найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки каждый завод региона.

Для того чтобы найти, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки каждый завод региона, необходимо вычислить среднее взвешенное. Согласно условию задачи, сначала мы должны заменить каждый интервал его серединой.

1. Нахождение середин интервалов
Середина интервала $[a, b]$ вычисляется по формуле $\frac{a+b}{2}$.

• Для интервала $12–15$: $\frac{12 + 15}{2} = 13,5$ тыс. ц.
• Для интервала $15–18$: $\frac{15 + 18}{2} = 16,5$ тыс. ц.
• Для интервала $18–21$: $\frac{18 + 21}{2} = 19,5$ тыс. ц.

2. Расчет общего объема переработки и общего числа заводов
Теперь найдем общий объем сахара, переработанный всеми заводами, умножив середину каждого интервала на соответствующее число заводов и сложив результаты.

• Общий объем переработки: $(13,5 \times 4) + (16,5 \times 6) + (19,5 \times 3) = 54 + 99 + 58,5 = 211,5$ тыс. ц.
• Общее число заводов: $4 + 6 + 3 = 13$ заводов.

3. Вычисление средней переработки на один завод
Чтобы найти среднее значение, разделим общий объем переработки на общее число заводов.

Средняя переработка $= \frac{\text{Общий объем переработки}}{\text{Общее число заводов}} = \frac{211,5}{13} \approx 16,26923$ тыс. ц.

Округлим полученный результат до сотых.

Ответ: в среднем каждый завод региона перерабатывал в сутки 16,27 тыс. ц сахара.

1038. В уравнении $x^2 - 3px + (-2)^6 = 0$ один из корней равен 4.

Найдите $p$.

Первым шагом упростим данное уравнение $x^2 - 3px + (-2)^6 = 0$, вычислив значение его свободного члена:

$(-2)^6 = 64$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$x^2 - 3px + 64 = 0$

По условию задачи, один из корней уравнения равен 4. Если корень уравнения известен, то при его подстановке в уравнение мы получим верное числовое равенство. Подставим $x = 4$ в наше уравнение:

$(4)^2 - 3p \cdot 4 + 64 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$16 - 12p + 64 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$80 - 12p = 0$

Перенесем $12p$ в правую часть уравнения:

$80 = 12p$

Выразим $p$:

$p = \frac{80}{12}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 4:

$p = \frac{80 \div 4}{12 \div 4} = \frac{20}{3}$

Ответ: $p = \frac{20}{3}$

1039. Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2 + 12x + 30 = 0.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Заданное уравнение: $x^2 + 12x + 30 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 12$, $c = 30$.

Прежде всего, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Обозначим их как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета, для нашего уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -12/1 = -12$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 30/1 = 30$

Нам необходимо найти сумму квадратов корней, то есть величину $x_1^2 + x_2^2$.

Мы можем выразить эту сумму через сумму и произведение корней, используя известное тождество:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Из этого тождества выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения, полученные с помощью теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 30$

Выполним вычисления:

$x_1^2 + x_2^2 = 144 - 60 = 84$

Ответ: 84

1040. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 0,5(2 - x) - 1,5x < 6x - 1, \\ 1,3(2 + x) + 0,7x < 3x + 2,4. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство системы: $0.5(2 - x) - 1.5x < 6x - 1$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$0.5 \cdot 2 - 0.5 \cdot x - 1.5x < 6x - 1$

$1 - 0.5x - 1.5x < 6x - 1$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$1 - 2x < 6x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ в правую часть, а $-1$ в левую, поменяв их знаки на противоположные:

$1 + 1 < 6x + 2x$

$2 < 8x$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{2}{8}$

Сократив дробь, получаем:

$x > \frac{1}{4}$

В виде десятичной дроби это $x > 0.25$.

Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $(0.25; +\infty)$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство системы: $1.3(2 + x) + 0.7x < 3x + 2.4$.

Раскроем скобки в левой части:

$1.3 \cdot 2 + 1.3 \cdot x + 0.7x < 3x + 2.4$

$2.6 + 1.3x + 0.7x < 3x + 2.4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2.6 + 2x < 3x + 2.4$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $2x$ в правую часть, а $2.4$ в левую с противоположными знаками:

$2.6 - 2.4 < 3x - 2x$

$0.2 < x$

Это эквивалентно записи $x > 0.2$.

Таким образом, решение второго неравенства — это интервал $(0.2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$\begin{cases} x > 0.25 \\ x > 0.2 \end{cases}$

Пересечением интервалов $(0.25; +\infty)$ и $(0.2; +\infty)$ является интервал $(0.25; +\infty)$, так как любое число, которое больше 0.25, автоматически будет и больше 0.2.

Следовательно, решением системы является неравенство $x > 0.25$.

Ответ: $x \in (0.25; +\infty)$.

1041. Упростите выражение

$2\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{5})-(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$

Для того чтобы упростить выражение $2\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$, необходимо выполнить несколько алгебраических преобразований. Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Сначала упростим первый член $2\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{5})$. Для этого раскроем скобки, умножив $2\sqrt{5}$ на каждый из членов внутри скобок (используя распределительный закон):

$2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5 \cdot 2} - 2(\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{10} - 2 \cdot 5 = 2\sqrt{10} - 10$.

Теперь упростим второй член $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

$(2\sqrt{10} - 10) - (7 + 2\sqrt{10})$.

Далее раскрываем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$2\sqrt{10} - 10 - 7 - 2\sqrt{10}$.

В завершение приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $\sqrt{10}$ и числовые члены:

$(2\sqrt{10} - 2\sqrt{10}) + (-10 - 7) = 0 - 17 = -17$.

Ответ: $-17$.