Номер 1039, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Сбор и группировка статистических данных. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1039, страница 231.

1039. Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2 + 12x + 30 = 0.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Заданное уравнение: $x^2 + 12x + 30 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 12$, $c = 30$.

Прежде всего, убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Обозначим их как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета, для нашего уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a = -12/1 = -12$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a = 30/1 = 30$

Нам необходимо найти сумму квадратов корней, то есть величину $x_1^2 + x_2^2$.

Мы можем выразить эту сумму через сумму и произведение корней, используя известное тождество:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Из этого тождества выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения, полученные с помощью теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 30$

Выполним вычисления:

$x_1^2 + x_2^2 = 144 - 60 = 84$

Ответ: 84