Номер 1040, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Сбор и группировка статистических данных. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1040, страница 231.

1040. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 0,5(2 - x) - 1,5x < 6x - 1, \\ 1,3(2 + x) + 0,7x < 3x + 2,4. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство системы: $0.5(2 - x) - 1.5x < 6x - 1$.

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$0.5 \cdot 2 - 0.5 \cdot x - 1.5x < 6x - 1$

$1 - 0.5x - 1.5x < 6x - 1$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$1 - 2x < 6x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ в правую часть, а $-1$ в левую, поменяв их знаки на противоположные:

$1 + 1 < 6x + 2x$

$2 < 8x$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{2}{8}$

Сократив дробь, получаем:

$x > \frac{1}{4}$

В виде десятичной дроби это $x > 0.25$.

Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $(0.25; +\infty)$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство системы: $1.3(2 + x) + 0.7x < 3x + 2.4$.

Раскроем скобки в левой части:

$1.3 \cdot 2 + 1.3 \cdot x + 0.7x < 3x + 2.4$

$2.6 + 1.3x + 0.7x < 3x + 2.4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2.6 + 2x < 3x + 2.4$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $2x$ в правую часть, а $2.4$ в левую с противоположными знаками:

$2.6 - 2.4 < 3x - 2x$

$0.2 < x$

Это эквивалентно записи $x > 0.2$.

Таким образом, решение второго неравенства — это интервал $(0.2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$\begin{cases} x > 0.25 \\ x > 0.2 \end{cases}$

Пересечением интервалов $(0.25; +\infty)$ и $(0.2; +\infty)$ является интервал $(0.25; +\infty)$, так как любое число, которое больше 0.25, автоматически будет и больше 0.2.

Следовательно, решением системы является неравенство $x > 0.25$.

Ответ: $x \in (0.25; +\infty)$.