Страница 230 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1034. Определяя степень засорённости цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили такую таблицу:

Число семян сорных растений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Число пакетов: 3, 16, 26, 17, 18, 10, 3, 5, 1, 1

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое и моду.

Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое

Для нахождения среднего арифметического необходимо общее количество сорных семян разделить на общее количество пакетов.

1. Общее количество пакетов, согласно условию, равно 100. Проверим это, сложив значения из второй строки таблицы («Число пакетов»):
$3 + 16 + 26 + 17 + 18 + 10 + 3 + 5 + 1 + 1 = 100$.

2. Вычислим общее количество сорных семян во всех пакетах. Для этого умножим каждое значение из первой строки («Число семян сорных растений») на соответствующее ему значение из второй строки («Число пакетов») и сложим полученные произведения:
$S = (0 \cdot 3) + (1 \cdot 16) + (2 \cdot 26) + (3 \cdot 17) + (4 \cdot 18) + (5 \cdot 10) + (6 \cdot 3) + (7 \cdot 5) + (8 \cdot 1) + (9 \cdot 1)$
$S = 0 + 16 + 52 + 51 + 72 + 50 + 18 + 35 + 8 + 9 = 311$.

3. Разделим общее количество семян на общее количество пакетов, чтобы найти среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{311}{100} = 3,11$.
Ответ: Среднее арифметическое равно 3,11.

Мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. В данном случае необходимо найти количество сорных семян, которое встречается в наибольшем числе пакетов.

Изучив вторую строку таблицы («Число пакетов»), находим наибольшее значение. Это 26.
Это число пакетов соответствует значению «2 семени» из первой строки.
Следовательно, модой данного ряда является 2.
Ответ: Мода равна 2.

Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое (3,11) — это показатель, который описывает "центральную тенденцию" выборки. В данном контексте он показывает среднюю степень засорённости цветочных семян. Если бы все сорные семена (311 штук) были распределены по всем пакетам (100 штук) равномерно, то на каждый пакет пришлось бы в среднем по 3,11 сорного семени. Этот показатель полезен для общей оценки качества всей партии семян.

Мода (2) — это показатель, который описывает наиболее типичное, самое часто встречающееся значение в выборке. В данной задаче мода показывает, что пакеты, содержащие ровно 2 сорных семени, являются самыми распространенными. Этот показатель помогает понять, какой результат является наиболее вероятным при проверке одного случайно взятого пакета.

1035. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания.

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до $1\%$).

Для того чтобы составить таблицу относительных частот, сначала необходимо найти общее количество учащихся, которые писали контрольную работу. Это будет объем выборки. Для этого сложим все значения из столбца «Число учащихся». Прочерк напротив «0 выполненных заданий» означает, что таких учеников не было, то есть их количество равно нулю.

Найдем общее число учащихся $N$:

$N = 0 + 27 + 53 + 87 + 223 + 146 + 89 = 625$

Теперь для каждой группы (в зависимости от числа выполненных заданий) вычислим относительную частоту. Относительная частота показывает, какая доля от общего числа учащихся приходится на данную группу, и обычно выражается в процентах. Формула для расчета относительной частоты $W$ в процентах:

$W = \frac{f}{N} \times 100\%$

где $f$ — число учащихся в конкретной группе (абсолютная частота), а $N$ — общее число учащихся.

Выполним расчеты для каждой группы, округляя результат с точностью до 1% (до целого числа процентов):

• 0 заданий: $f = 0$. Относительная частота = $\frac{0}{625} \times 100\% = 0\%$.
• 1 задание: $f = 27$. Относительная частота = $\frac{27}{625} \times 100\% = 4.32\% \approx 4\%$.
• 2 задания: $f = 53$. Относительная частота = $\frac{53}{625} \times 100\% = 8.48\% \approx 8\%$.
• 3 задания: $f = 87$. Относительная частота = $\frac{87}{625} \times 100\% = 13.92\% \approx 14\%$.
• 4 задания: $f = 223$. Относительная частота = $\frac{223}{625} \times 100\% = 35.68\% \approx 36\%$.
• 5 заданий: $f = 146$. Относительная частота = $\frac{146}{625} \times 100\% = 23.36\% \approx 23\%$.
• 6 заданий: $f = 89$. Относительная частота = $\frac{89}{625} \times 100\% = 14.24\% \approx 14\%$.

Теперь составим итоговую таблицу относительных частот на основе полученных данных.

Ответ:

1036. При изучении учебной нагрузки учащихся некоторой школы попросили 24 восьмиклассников указать время (с точностью до 1 мин), которое они затратили в определённый день на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные:

27, 25, 31, 32, 34, 16, 18, 39,
26, 34, 32, 29, 19, 15, 37, 36,
31, 29, 28, 15, 31, 34, 22, 28.

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 5 мин.

Для того чтобы представить полученные данные в виде интервального ряда, необходимо выполнить следующие действия.

1. Нахождение диапазона данных

Сначала определим минимальное и максимальное значения в выборке, чтобы установить границы для наших интервалов.

Исходный ряд данных (время в минутах): 27, 25, 31, 32, 34, 16, 18, 39, 26, 34, 32, 29, 19, 15, 37, 36, 31, 29, 28, 15, 31, 34, 22, 28.

• Минимальное значение: $15$ мин.
• Максимальное значение: $39$ мин.

Таким образом, все данные находятся в пределах от 15 до 39 минут.

2. Построение интервалов

Согласно условию, длина каждого интервала должна быть 5 минут. Начиная с минимального значения (15), мы создаем последовательные интервалы, пока не покроем максимальное значение (39). Так как данные целочисленные, интервалы будут выглядеть следующим образом:

• 15 – 19
• 20 – 24
• 25 – 29
• 30 – 34
• 35 – 39

3. Группировка данных и подсчет частот

Теперь подсчитаем, сколько значений из исходного ряда попадает в каждый из созданных интервалов. Для удобства подсчета можно отсортировать данные по возрастанию:

15, 15, 16, 18, 19, 22, 25, 26, 27, 28, 28, 29, 29, 31, 31, 31, 32, 32, 34, 34, 34, 36, 37, 39.

Распределим значения по интервалам и найдем их частоту (количество):

• В интервал 15 – 19 попадают значения: 15, 15, 16, 18, 19. Частота: 5.
• В интервал 20 – 24 попадает значение: 22. Частота: 1.
• В интервал 25 – 29 попадают значения: 25, 26, 27, 28, 28, 29, 29. Частота: 7.
• В интервал 30 – 34 попадают значения: 31, 31, 31, 32, 32, 34, 34, 34. Частота: 8.
• В интервал 35 – 39 попадают значения: 36, 37, 39. Частота: 3.

Для проверки, что все данные учтены, сложим частоты: $5 + 1 + 7 + 8 + 3 = 24$. Сумма равна общему числу учащихся, что подтверждает правильность подсчетов.

Ответ:

Итоговый интервальный ряд данных представлен в следующей таблице: