Страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1031. При проверке 70 контрольных работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот.

Число ошибок: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Частота: 4, 6, 15, 26, 12, 4, 3

Каково наибольшее различие в числе допущенных учащимися ошибок?

Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся?

Какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы?

Каково наибольшее различие в числе допущенных учащимися ошибок?

Наибольшее различие в числе ошибок — это статистическая характеристика, называемая размахом ряда данных. Размах вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями в ряду.
Из таблицы "Число ошибок" мы видим, что максимальное число допущенных ошибок равно 6, а минимальное — 0.
Найдем размах:
$R = 6 - 0 = 6$
Ответ: Наибольшее различие в числе допущенных ошибок равно 6.

Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся?

Типичное значение для ряда данных можно определить с помощью моды. Мода — это значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. В данном случае нам нужно найти число ошибок с самой большой частотой.
Посмотрим на строку "Частота" в таблице: 4, 6, 15, 26, 12, 4, 3.
Самая большая частота — 26. Она соответствует 3 ошибкам в контрольной работе.
Следовательно, мода данного ряда равна 3.
Ответ: Типичным для данной группы учащихся является 3 ошибки.

Какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы?

Для ответа на первый вопрос о наибольшем различии была использована статистическая характеристика размах.
Для ответа на второй вопрос о типичном числе ошибок была использована статистическая характеристика мода.
Ответ: Были использованы следующие статистические характеристики: размах и мода.

1032. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретённых сотрудниками лаборатории, представлен в виде таблицы частот.

Число акций Частота

2 20

5 12

10 7

25 4

100 2

Найдите для этого ряда данных среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое для взвешенного ряда данных (каким является ряд, представленный таблицей частот) вычисляется по формуле: $ \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + ... + x_n f_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n} $ где $x_i$ — это значение из ряда данных (число акций), а $f_i$ — соответствующая ему частота (количество сотрудников).

Сначала найдем общее количество сотрудников, сложив все частоты: $ N = 20 + 12 + 7 + 4 + 2 = 45 $

Далее найдем общее количество всех приобретенных акций. Для этого умножим каждое значение числа акций на его частоту и сложим полученные произведения: $ S = (2 \cdot 20) + (5 \cdot 12) + (10 \cdot 7) + (25 \cdot 4) + (100 \cdot 2) = 40 + 60 + 70 + 100 + 200 = 470 $

Теперь вычислим среднее арифметическое, разделив общее количество акций на общее количество сотрудников: $ \bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{470}{45} = \frac{94}{9} = 10\frac{4}{9} $

Что характеризует: Среднее арифметическое показывает, сколько акций в среднем приходится на одного сотрудника. Если бы все купленные акции были распределены поровну между всеми сотрудниками, то каждый из них владел бы $10\frac{4}{9}$ акций (примерно 10,44 акции).

Ответ: $10\frac{4}{9}$.

Размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

В данном ряду данных "Число акций" значениями являются 2, 5, 10, 25 и 100.

Наибольшее значение равно $100$.

Наименьшее значение равно $2$.

Размах вычисляется как: $100 - 2 = 98$.

Что характеризует: Размах показывает меру разброса данных. Он демонстрирует, насколько велика разница между самым большим и самым маленьким количеством акций, приобретенных сотрудниками. Большой размах (98) говорит о значительной неоднородности в количестве купленных акций.

Ответ: 98.

Мода

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду с наибольшей частотой.

Чтобы найти моду, посмотрим на столбец "Частота" и найдем в нем самое большое число. Это число $20$.

Теперь посмотрим, какому значению из столбца "Число акций" соответствует эта частота. Частоте $20$ соответствует число акций $2$.

Следовательно, мода данного ряда равна 2.

Что характеризует: Мода указывает на наиболее "популярное" или типичное значение в наборе данных. В этом контексте мода показывает, что чаще всего сотрудники лаборатории приобретали по 2 акции.

Ответ: 2.

1033. При изучении качества продукции, выпущенной инструментальным цехом машиностроительного завода, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Получили такую таблицу:

Число бракованных деталей: 0, 1, 2, 3, 4

Число ящиков: 8, 22, 13, 5, 2

Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных.

Что характеризует каждый из этих показателей?

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех значений, деленная на их количество. Для данных, представленных в виде частотной таблицы, это вычисляется как взвешенное среднее. Сначала найдем общее число бракованных деталей, умножив каждое возможное число дефектов на его частоту (число ящиков), и сложим результаты. Затем разделим эту сумму на общее количество ящиков.

Общее количество ящиков: $N = 8 + 22 + 13 + 5 + 2 = 50$.

Общее число бракованных деталей: $S = (0 \cdot 8) + (1 \cdot 22) + (2 \cdot 13) + (3 \cdot 5) + (4 \cdot 2) = 0 + 22 + 26 + 15 + 8 = 71$.

Среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{71}{50} = 1,42$.

Этот показатель характеризует среднее количество бракованных деталей в одном ящике. В данной выборке на один ящик в среднем приходится 1,42 бракованной детали.

Ответ: 1,42.

Размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду данных. В данном случае значениями является число бракованных деталей.

Наибольшее значение: $x_{max} = 4$.

Наименьшее значение: $x_{min} = 0$.

Размах $R = x_{max} - x_{min} = 4 - 0 = 4$.

Этот показатель характеризует разброс данных. Он показывает, что разница между максимальным и минимальным числом бракованных деталей в ящиках составляет 4.

Ответ: 4.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. Чтобы ее найти, нужно определить, какому числу бракованных деталей соответствует наибольшее число ящиков (наибольшая частота).

Из таблицы видно, что наибольшая частота — 22 ящика. Она соответствует значению "1 бракованная деталь".

Следовательно, мода ряда $Mo = 1$.

Этот показатель характеризует наиболее типичный результат. В данной выборке ящики с одной бракованной деталью встречаются чаще всего.

Ответ: 1.