Страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

994. Найдите значение выражения:

а) $125^{-1} \cdot 25^2$;

б) $16^{-3} \cdot 4^6$;

в) $(6^2)^6 : 6^{14}$;

г) $12^0 : (12^{-1})^2$;

д) $\frac{(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2}{4^2}$;

е) $\frac{(3^{-2})^3 \cdot 9^4}{(3^3)^2}$.

а)

Для решения приведем все числа к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4$

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-3+4} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

б)

Приведем числа к общему основанию 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Также можно использовать основание 2, так как $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$. Воспользуемся основанием 2.

Подставим эти значения в выражение:

$16^{-3} \cdot 4^6 = (2^4)^{-3} \cdot (2^2)^6$

Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 6} = 2^{-12} \cdot 2^{12}$

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-12+12} = 2^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$2^0 = 1$

Ответ: 1

в)

Сначала упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(6^2)^6 = 6^{2 \cdot 6} = 6^{12}$

Теперь выражение имеет вид: $6^{12} : 6^{14}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{12-14} = 6^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

г)

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $12^0 = 1$.

Упростим делитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(12^{-1})^2 = 12^{-1 \cdot 2} = 12^{-2}$

Выражение принимает вид: $12^0 : 12^{-2}$.

Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$12^{0 - (-2)} = 12^{0+2} = 12^2 = 144$

Ответ: 144

д)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.

Числитель: $(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2 = 2^{3 \cdot 5} \cdot 2^{-6 \cdot 2} = 2^{15} \cdot 2^{-12} = 2^{15+(-12)} = 2^3$.

Знаменатель: $4^2$. Приведем к основанию 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$.

Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{2^3}{2^4}$.

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{3-4} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

е)

Упростим числитель и знаменатель, приведя все к основанию 3.

Числитель: $(3^{-2})^3 \cdot 9^4$. Мы знаем, что $9=3^2$.

$(3^{-2})^3 \cdot (3^2)^4 = 3^{-2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 4} = 3^{-6} \cdot 3^8 = 3^{-6+8} = 3^2$.

Знаменатель: $(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.

Дробь принимает вид: $\frac{3^2}{3^6}$.

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{2-6} = 3^{-4}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем:

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$

995. (Для работы в парах.) Зная, что $m$ — целое число, сократите дробь:

а) $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$; б) $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$, представим числитель $25^m$ как степень с основанием 5. Поскольку $25 = 5^2$, мы можем переписать числитель:

$25^m = (5^2)^m$.

Используя свойство возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

$(5^2)^m = 5^{2 \cdot m} = 5^{2m}$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Согласно свойству $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$, имеем:

$5^{2m - (2m-1)} = 5^{2m - 2m + 1} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$, разложим основание 6 в числителе на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Тогда числитель можно записать так:

$6^m = (2 \cdot 3)^m$.

Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$, получаем:

$(2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$.

Теперь дробь принимает вид:

$\frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$ для каждой группы:

$\frac{2^m}{2^{m-1}} \cdot \frac{3^m}{3^{m+1}} = 2^{m - (m-1)} \cdot 3^{m - (m+1)}$.

Упростим показатели степеней:

$2^{m - m + 1} \cdot 3^{m - m - 1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

996. Представьте какими-либо тремя способами выражение $x^{-10}$ в виде произведения степеней.

Чтобы представить выражение $x^{-10}$ в виде произведения степеней, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Это означает, что нам нужно найти наборы чисел (показателей степеней), сумма которых будет равна $-10$. Существует бесконечное количество таких комбинаций. Ниже приведены три примера.

Способ 1

Представим показатель степени $-10$ как сумму двух отрицательных целых чисел. Например, $-10 = (-4) + (-6)$.

Используя это разложение, получаем следующее произведение степеней:

$x^{-10} = x^{-4 + (-6)} = x^{-4} \cdot x^{-6}$

Ответ: $x^{-4} \cdot x^{-6}$

Способ 2

Представим показатель $-10$ как сумму положительного и отрицательного числа. Например, $-10 = 3 + (-13)$.

Тогда выражение можно записать в следующем виде:

$x^{-10} = x^{3 + (-13)} = x^3 \cdot x^{-13}$

Ответ: $x^3 \cdot x^{-13}$

Способ 3

Представим показатель $-10$ как сумму трех слагаемых. Например, $-10 = (-1) + (-2) + (-7)$.

В этом случае выражение можно представить в виде произведения трех степеней:

$x^{-10} = x^{-1 + (-2) + (-7)} = x^{-1} \cdot x^{-2} \cdot x^{-7}$

Ответ: $x^{-1} \cdot x^{-2} \cdot x^{-7}$

997. Представьте выражение $a^{12}$, где $a \neq 0$, в виде степени:

а) с основанием $a^4$;

б) с основанием $a^{-6}$.

а) Чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде степени с основанием $a^4$, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(a^4)^x = a^{12}$. Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Применив это свойство, получим равенство $a^{4 \cdot x} = a^{12}$. Так как основания степеней ($a$) равны, мы можем приравнять их показатели: $4x = 12$. Решив это простое уравнение, находим $x$: $x = \frac{12}{4} = 3$. Таким образом, искомое представление выражения $a^{12}$ есть $(a^4)^3$. Ответ: $(a^4)^3$

б) Аналогично, чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде степени с основанием $a^{-6}$, найдем показатель степени $y$, для которого справедливо равенство $(a^{-6})^y = a^{12}$. Используя то же свойство степени $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$, преобразуем левую часть: $a^{-6 \cdot y} = a^{12}$. Приравниваем показатели степеней, поскольку основания равны: $-6y = 12$. Находим $y$: $y = \frac{12}{-6} = -2$. Следовательно, выражение $a^{12}$ можно представить в виде $(a^{-6})^{-2}$. Ответ: $(a^{-6})^{-2}$

998. Представьте в виде степени с основанием x частное:

а) $x^{10} : x^{12};$

б) $x^0 : x^{-5};$

в) $x^{n - 1} : x^{-8}$, где $n$ — целое число;

г) $x^6 : x^{n + 2}$, где $n$ — целое число.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит следующим образом: $x^a : x^b = x^{a-b}$.

а) $x^{10} : x^{12}$

Применим правило деления степеней. В данном случае показатель степени делимого $a = 10$, а показатель степени делителя $b = 12$.

$x^{10} : x^{12} = x^{10-12} = x^{-2}$

Ответ: $x^{-2}$

б) $x^0 : x^{-5}$

Используем то же правило. Показатель степени делимого $a = 0$, а показатель степени делителя $b = -5$.

$x^0 : x^{-5} = x^{0 - (-5)} = x^{0+5} = x^5$

Ответ: $x^5$

в) $x^{n-1} : x^{-8}$, где $n$ — целое число

Применим правило деления степеней. Показатель степени делимого $a = n-1$, а показатель степени делителя $b = -8$.

$x^{n-1} : x^{-8} = x^{(n-1) - (-8)} = x^{n-1+8} = x^{n+7}$

Ответ: $x^{n+7}$

г) $x^6 : x^{n+2}$, где $n$ — целое число

Снова используем правило деления степеней. Показатель степени делимого $a = 6$, а показатель степени делителя $b = n+2$.

$x^6 : x^{n+2} = x^{6 - (n+2)} = x^{6-n-2} = x^{4-n}$

Ответ: $x^{4-n}$

999. Упростите выражение:

a) $1,5ab^{-3} \cdot 6a^{-2}b;$

б) $-\frac{3}{4}m^{-2}n^4 \cdot 8m^3n^{-2};$

в) $0,6c^2d^4 \cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4};$

г) $3,2x^{-1}y^{-5} \cdot \frac{5}{8}xy;$

д) $\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3} \cdot \frac{1}{6}p^2q^{-5};$

е) $3\frac{1}{3}a^5b^{-18} \cdot 0,6a^{-1}b^{20}.$

а) Для упрощения выражения $1,5ab^{-3} \cdot 6a^{-2}b$ сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, а затем применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$1,5ab^{-3} \cdot 6a^{-2}b = (1,5 \cdot 6) \cdot (a^1 \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-3} \cdot b^1) = 9 \cdot a^{1+(-2)} \cdot b^{-3+1} = 9a^{-1}b^{-2}$.
Ответ: $9a^{-1}b^{-2}$

б) Для упрощения выражения $\frac{3}{4}m^{-2}n^4 \cdot 8m^3n^{-2}$ выполним умножение коэффициентов и сложим показатели степеней для одинаковых оснований:
$\frac{3}{4}m^{-2}n^4 \cdot 8m^3n^{-2} = (\frac{3}{4} \cdot 8) \cdot (m^{-2} \cdot m^3) \cdot (n^4 \cdot n^{-2}) = 6 \cdot m^{-2+3} \cdot n^{4+(-2)} = 6mn^2$.
Ответ: $6mn^2$

в) Для упрощения выражения $0,6c^2d^4 \cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}$ перемножим коэффициенты и переменные. Учтем, что $x^m \cdot x^{-m} = x^0 = 1$.
$0,6c^2d^4 \cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4} = (0,6 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (c^2 \cdot c^{-2}) \cdot (d^4 \cdot d^{-4}) = 0,2 \cdot c^{2-2} \cdot d^{4-4} = 0,2 \cdot c^0 \cdot d^0 = 0,2 \cdot 1 \cdot 1 = 0,2$.
Ответ: $0,2$

г) Для упрощения выражения $3,2x^{-1}y^{-5} \cdot \frac{5}{8}xy$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной и выполним действия со степенями.
$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.
$(\frac{16}{5} \cdot \frac{5}{8}) \cdot (x^{-1} \cdot x^1) \cdot (y^{-5} \cdot y^1) = \frac{16}{8} \cdot x^{-1+1} \cdot y^{-5+1} = 2 \cdot x^0 \cdot y^{-4} = 2 \cdot 1 \cdot y^{-4} = 2y^{-4}$.
Ответ: $2y^{-4}$

д) Для упрощения выражения $\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3} \cdot \frac{1}{6}p^2q^{-5}$ перемножим коэффициенты и сложим показатели степеней для $p$ и $q$:
$\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3} \cdot \frac{1}{6}p^2q^{-5} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}) \cdot (p^{-1} \cdot p^2) \cdot (q^{-3} \cdot q^{-5}) = \frac{1}{12} \cdot p^{-1+2} \cdot q^{-3+(-5)} = \frac{1}{12}pq^{-8}$.
Ответ: $\frac{1}{12}pq^{-8}$

е) Для упрощения выражения $3\frac{1}{3}a^5b^{-18} \cdot 0,6a^{-1}b^{20}$ преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$(\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}) \cdot (a^5 \cdot a^{-1}) \cdot (b^{-18} \cdot b^{20}) = \frac{10}{5} \cdot a^{5-1} \cdot b^{-18+20} = 2a^4b^2$.
Ответ: $2a^4b^2$

1000. Найдите значение выражения:

а) $0,2a^{-2}b^{4} \cdot 5a^{3}b^{-3}$ при $a = -0,125, b = 8;$

б) $\frac{1}{27}a^{-1}b^{-5} \cdot 81a^{2}b^{4}$ при $a = \frac{1}{7}, b = \frac{1}{14}.$

а) Чтобы найти значение выражения $0,2a^{-2}b^4 \cdot 5a^3b^{-3}$ при $a = -0,125$ и $b = 8$, сначала упростим его. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$0,2a^{-2}b^4 \cdot 5a^3b^{-3} = (0,2 \cdot 5) \cdot (a^{-2} \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b^{-3})$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

$(0,2 \cdot 5) \cdot a^{-2+3} \cdot b^{4+(-3)} = 1 \cdot a^1 \cdot b^1 = ab$

Теперь подставим заданные значения $a = -0,125$ и $b = 8$ в упрощенное выражение:

$ab = (-0,125) \cdot 8$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной для удобства вычисления: $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

$(-\frac{1}{8}) \cdot 8 = -1$

Ответ: -1

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{27}a^{-1}b^{-5} \cdot 81a^2b^4$ при $a = \frac{1}{7}$ и $b = \frac{1}{14}$, также сначала упростим его:

$\frac{1}{27}a^{-1}b^{-5} \cdot 81a^2b^4 = (\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^{-1} \cdot a^2) \cdot (b^{-5} \cdot b^4)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(\frac{81}{27}) \cdot a^{-1+2} \cdot b^{-5+4} = 3 \cdot a^1 \cdot b^{-1} = 3ab^{-1}$

Так как $b^{-1} = \frac{1}{b}$, выражение принимает вид $\frac{3a}{b}$.

Теперь подставим значения $a = \frac{1}{7}$ и $b = \frac{1}{14}$ в полученное выражение:

$\frac{3a}{b} = \frac{3 \cdot \frac{1}{7}}{\frac{1}{14}} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{14}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{1} = \frac{3 \cdot 14}{7} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

1001. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $1,6x^{-1}y^{12} \cdot 5x^3y^{-11}$ при $x = -0,2$, $y = 0,7$;

б) $\frac{5}{6}x^{-3}y^3 \cdot 30x^3y^{-4}$ при $x = 127$, $y = \frac{1}{5}$.

а)

Сначала упростим данное выражение, сгруппировав коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$1,6x^{-1}y^{12} \cdot 5x^{3}y^{-11} = (1,6 \cdot 5) \cdot (x^{-1} \cdot x^{3}) \cdot (y^{12} \cdot y^{-11})$

Для умножения степеней с одинаковыми основаниями используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(1,6 \cdot 5) \cdot x^{-1+3} \cdot y^{12+(-11)} = 8 \cdot x^2 \cdot y^1 = 8x^2y$

Теперь подставим значения $x = -0,2$ и $y = 0,7$ в упрощенное выражение:

$8x^2y = 8 \cdot (-0,2)^2 \cdot 0,7$

Вычислим значение:

$8 \cdot (0,04) \cdot 0,7 = 0,32 \cdot 0,7 = 0,224$

Ответ: 0,224.

б)

Сначала упростим выражение, сгруппировав коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{5}{6}x^{-3}y^{3} \cdot 30x^{3}y^{-4} = (\frac{5}{6} \cdot 30) \cdot (x^{-3} \cdot x^{3}) \cdot (y^{3} \cdot y^{-4})$

Используем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{5 \cdot 30}{6}) \cdot x^{-3+3} \cdot y^{3+(-4)} = (5 \cdot 5) \cdot x^0 \cdot y^{-1}$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($x^0 = 1$), а степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$25 \cdot 1 \cdot y^{-1} = 25y^{-1} = \frac{25}{y}$

Теперь подставим значение $y = -\frac{1}{5}$ в упрощенное выражение. Значение $x = 127$ не влияет на результат.

$\frac{25}{y} = \frac{25}{-\frac{1}{5}} = 25 \div (-\frac{1}{5}) = 25 \cdot (-5) = -125$

Ответ: -125.