Номер 995, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 995, страница 220.

995. (Для работы в парах.) Зная, что $m$ — целое число, сократите дробь:

а) $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$; б) $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$, представим числитель $25^m$ как степень с основанием 5. Поскольку $25 = 5^2$, мы можем переписать числитель:

$25^m = (5^2)^m$.

Используя свойство возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

$(5^2)^m = 5^{2 \cdot m} = 5^{2m}$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Согласно свойству $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$, имеем:

$5^{2m - (2m-1)} = 5^{2m - 2m + 1} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$, разложим основание 6 в числителе на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Тогда числитель можно записать так:

$6^m = (2 \cdot 3)^m$.

Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$, получаем:

$(2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$.

Теперь дробь принимает вид:

$\frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$ для каждой группы:

$\frac{2^m}{2^{m-1}} \cdot \frac{3^m}{3^{m+1}} = 2^{m - (m-1)} \cdot 3^{m - (m+1)}$.

Упростим показатели степеней:

$2^{m - m + 1} \cdot 3^{m - m - 1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, поэтому $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$