Номер 991, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 991, страница 219.

991. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

а) $ \frac{1}{16} \cdot 2^{10};$

б) $32 \cdot (2^{-4})^2;$

в) $8^{-1} \cdot 4^3;$

г) $4^5 \cdot 16^{-2}.$

а) Чтобы представить выражение $\frac{1}{16} \cdot 2^{10}$ в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель привести к этому основанию.
Представим число 16 как степень двойки: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Тогда дробь $\frac{1}{16}$ можно записать как $\frac{1}{2^4}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: $2^{-4} \cdot 2^{10}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6$.
Мы представили выражение в виде степени с основанием 2: $2^6$.
Теперь найдем его значение: $2^6 = 64$.
Ответ: 64.

б) Рассмотрим выражение $32 \cdot (2^{-4})^2$.
Сначала представим число 32 в виде степени с основанием 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.
Далее упростим вторую часть выражения $(2^{-4})^2$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $2^5 \cdot 2^{-8}$.
Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели:
$2^5 \cdot 2^{-8} = 2^{5+(-8)} = 2^{5-8} = 2^{-3}$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^{-3}$.
Найдем его значение: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) Рассмотрим выражение $8^{-1} \cdot 4^3$.
Представим числа 8 и 4 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2^3$
$4 = 2^2$
Подставим эти значения в исходное выражение: $(2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3$.
Применим правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) для каждой части выражения:
$(2^3)^{-1} = 2^{3 \cdot (-1)} = 2^{-3}$
$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$
Теперь перемножим полученные степени: $2^{-3} \cdot 2^6$.
Сложим показатели: $2^{-3+6} = 2^3$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^3$.
Найдем его значение: $2^3 = 8$.
Ответ: 8.

г) Рассмотрим выражение $4^5 \cdot 16^{-2}$.
Представим числа 4 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$4 = 2^2$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в исходное выражение: $(2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2}$.
Воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$
$(2^4)^{-2} = 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{-8}$
Теперь перемножим полученные степени: $2^{10} \cdot 2^{-8}$.
Сложим показатели степеней: $2^{10+(-8)} = 2^{10-8} = 2^2$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^2$.
Найдем его значение: $2^2 = 4$.
Ответ: 4.