Номер 987, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 987, страница 219.

987. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.

Чтобы доказать, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны, нужно показать, что их произведение равно 1. По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице.

Пусть a — это произвольное число, отличное от нуля ($a \neq 0$).

Пусть n — это произвольный показатель степени. Тогда противоположный ему показатель будет -n.

Таким образом, нам нужно рассмотреть две степени: $a^n$ и $a^{-n}$.

Найдем их произведение. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^k = x^{m+k}$), получаем:
$a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)}$

Упростим показатель степени:
$n + (-n) = n - n = 0$

Следовательно, произведение равно:
$a^n \cdot a^{-n} = a^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как по условию $a \neq 0$, то:
$a^0 = 1$

Мы доказали, что произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно 1. Это означает, что данные степени являются взаимно обратными числами.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого числа $a \neq 0$ и любого показателя n, произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно $a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1$. Поскольку их произведение равно 1, они являются взаимно обратными.