Номер 988, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 988, страница 219.

988. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ при любом целом n, $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Для доказательства тождества $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо преобразовать его левую часть, последовательно применяя свойства степеней. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все операции деления и возведения в степень корректны.

Рассмотрим левую часть равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

Первым шагом воспользуемся определением степени с целым отрицательным показателем, которое гласит, что для любого ненулевого числа $x$ и целого $m$ справедливо равенство $x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Применив это правило к нашей дроби, получим:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$

Далее применим свойство возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}$. Это позволяет нам раскрыть скобки в знаменателе:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$

Мы получили многоэтажную дробь. Чтобы разделить единицу на дробь $\frac{a^n}{b^n}$, нужно умножить единицу на обратную ей дробь, то есть на $\frac{b^n}{a^n}$:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$

Наконец, воспользуемся свойством возведения дроби в степень в обратном порядке: $\frac{x^m}{y^m} = (\frac{x}{y})^m$. Применим его к полученному выражению:

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, в результате преобразований левой части равенства мы получили его правую часть: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.