Номер 985, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 985, страница 219.

985. Найдите значение выражения:

а) $3^{-4} \cdot 3^{6}$;

б) $2^{4} \cdot 2^{-3}$;

в) $10^{8} \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6}$;

г) $2^{10} : 2^{12}$;

д) $5^{-3} : 5^{-3}$;

е) $3^{-4} : 3$;

ж) $(2^{-4})^{-1}$;

з) $(5^{2})^{-2} \cdot 5^{3}$;

и) $3^{-4} \cdot (3^{-2})^{-4}$.

а) Для нахождения значения выражения $3^{-4} \cdot 3^6$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство, получаем: $3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2$.

Вычисляем значение: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

б) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^{4-3} = 2^1$.

Значение выражения: $2^1 = 2$.

Ответ: 2

в) Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$ для всех множителей.

$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6} = 10^{8+(-5)+(-6)} = 10^{8-11} = 10^{-3}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001$.

Ответ: 0.001

г) Для нахождения значения выражения $2^{10} : 2^{12}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{10} : 2^{12} = 2^{10-12} = 2^{-2}$.

Вычисляем значение: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$5^{-3} : 5^{-3} = 5^{-3 - (-3)} = 5^{-3+3} = 5^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $5^0 = 1$.

Ответ: 1

е) Представим число 3 как $3^1$ и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{-4} : 3 = 3^{-4} : 3^1 = 3^{-4-1} = 3^{-5}$.

Вычисляем значение: $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Ответ: $\frac{1}{243}$

ж) Для нахождения значения выражения $(2^{-4})^{-1}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^{-4})^{-1} = 2^{(-4) \cdot (-1)} = 2^4$.

Вычисляем значение: $2^4 = 16$.

Ответ: 16

з) Сначала упростим первый множитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$.

Теперь выражение имеет вид: $5^{-4} \cdot 5^3$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1}$.

Вычисляем значение: $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

и) Сначала упростим второй множитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$.

Теперь выражение имеет вид: $3^{-4} \cdot 3^8$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{-4} \cdot 3^8 = 3^{-4+8} = 3^4$.

Вычисляем значение: $3^4 = 81$.

Ответ: 81