Номер 990, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 990, страница 219.

990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

а) $27 \cdot 3^{-4}$;

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$;

в) $9^{-2} : 3^{-6}$;

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$.

а) $27 \cdot 3^{-4}$

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 3, сначала преобразуем число 27. Число 27 является третьей степенью числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение: $27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.

Теперь найдем значение полученного выражения. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$): $3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$

Сначала упростим каждый множитель, представив его в виде степени с основанием 3. Для первого множителя используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$.

Для второго множителя представим 81 как степень 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Тогда $81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.

Теперь перемножим полученные степени: $3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3$.

Найдем значение выражения: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: $3^3 = 27$.

в) $9^{-2} : 3^{-6}$

Представим делимое в виде степени с основанием 3. Число 9 это $3^2$. $9^{-2} = (3^2)^{-2}$.

По правилу возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2$.

Найдем значение выражения: $3^2 = 9$.

Ответ: $3^2 = 9$.

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$

Представим и делимое, и делитель в виде степеней с основанием 3. Начнем с делимого. $81 = 3^4$, поэтому $81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.

Теперь преобразуем делитель. $9 = 3^2$. $(9^{-2})^{-3} = ((3^2)^{-2})^{-3}$. Упростим внутреннюю часть: $(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$. Теперь возведем в степень -3: $(3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12}$.

Теперь выполним деление: $3^{12} : 3^{12}$. При делении степеней с одинаковым основанием и одинаковыми показателями результат равен основанию в нулевой степени: $3^{12-12} = 3^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $3^0 = 1$.

Ответ: $3^0 = 1$.