Номер 993, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 993, страница 219.

993. Вычислите:

а) $8^{-2} \cdot 4^3$;

б) $9^{-6} \cdot 27^5$;

в) $10^0 : 10^{-3}$;

г) $125^{-4} : 25^{-5}$;

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$;

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$;

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$;

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$.

а) $8^{-2} \cdot 4^3$

Для решения приведем основания степеней к одному числу — 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^{-2} \cdot 4^3 = (2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{-6+6} = 2^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

$2^0 = 1$

Ответ: 1

б) $9^{-6} \cdot 27^5$

Приведем основания 9 и 27 к общему основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$. Подставим в выражение:

$9^{-6} \cdot 27^5 = (3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5$

По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{2 \cdot (-6)} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{-12} \cdot 3^{15}$

По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{-12+15} = 3^3$

Вычисляем результат:

$3^3 = 27$

Ответ: 27

в) $10^0 : 10^{-3}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$10^0 : 10^{-3} = 10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3$

Вычисляем результат:

$10^3 = 1000$

Ответ: 1000

г) $125^{-4} : 25^{-5}$

Приведем основания 125 и 25 к общему основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим в выражение:

$125^{-4} : 25^{-5} = (5^3)^{-4} : (5^2)^{-5}$

По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{3 \cdot (-4)} : 5^{2 \cdot (-5)} = 5^{-12} : 5^{-10}$

По свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^{-12 - (-10)} = 5^{-12+10} = 5^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$

Сначала упростим знаменатель, используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$4^{-5} \cdot 4^{-6} = 4^{-5+(-6)} = 4^{-11}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{-21}}{4^{-11}}$

Приведем основание в знаменателе к 2. Так как $4 = 2^2$, то:

$4^{-11} = (2^2)^{-11} = 2^{2 \cdot (-11)} = 2^{-22}$

Подставим это значение обратно в дробь:

$\frac{2^{-21}}{2^{-22}}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$

Приведем все основания в числителе к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Подставим в числитель:

$4^{-2} \cdot 8^{-6} = (2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6} = 2^{-4} \cdot 2^{-18}$

Умножим степени в числителе:

$2^{-4 + (-18)} = 2^{-22}$

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{2^{-22}}{2^{-22}}$

Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1.

Ответ: 1

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$

Сначала упростим знаменатель: $(-3)^2 = 9$. Теперь приведем все основания к 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$. Подставим в выражение:

$\frac{3^{-10} \cdot (3^2)^8}{3^2}$

Упростим числитель, возведя степень в степень: $(3^2)^8 = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}$.

$\frac{3^{-10} \cdot 3^{16}}{3^2}$

Сложим показатели степеней в числителе: $3^{-10+16} = 3^6$.

$\frac{3^6}{3^2}$

Вычтем показатели степеней при делении:

$3^{6-2} = 3^4$

Вычисляем результат:

$3^4 = 81$

Ответ: 81

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$

Приведем все основания к 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Подставим в выражение:

$\frac{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}}{(5^3)^3}$

Упростим степени в числителе и знаменателе, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{5^{-5} \cdot 5^{2 \cdot 10}}{5^{3 \cdot 3}} = \frac{5^{-5} \cdot 5^{20}}{5^9}$

Упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{5^{-5+20}}{5^9} = \frac{5^{15}}{5^9}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{15-9} = 5^6$

Вычисляем результат:

$5^6 = 15625$

Ответ: 15625