Номер 994, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 994, страница 220.

994. Найдите значение выражения:

а) $125^{-1} \cdot 25^2$;

б) $16^{-3} \cdot 4^6$;

в) $(6^2)^6 : 6^{14}$;

г) $12^0 : (12^{-1})^2$;

д) $\frac{(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2}{4^2}$;

е) $\frac{(3^{-2})^3 \cdot 9^4}{(3^3)^2}$.

а)

Для решения приведем все числа к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4$

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-3+4} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

б)

Приведем числа к общему основанию 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Также можно использовать основание 2, так как $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$. Воспользуемся основанием 2.

Подставим эти значения в выражение:

$16^{-3} \cdot 4^6 = (2^4)^{-3} \cdot (2^2)^6$

Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 6} = 2^{-12} \cdot 2^{12}$

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-12+12} = 2^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$2^0 = 1$

Ответ: 1

в)

Сначала упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(6^2)^6 = 6^{2 \cdot 6} = 6^{12}$

Теперь выражение имеет вид: $6^{12} : 6^{14}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{12-14} = 6^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

г)

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $12^0 = 1$.

Упростим делитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(12^{-1})^2 = 12^{-1 \cdot 2} = 12^{-2}$

Выражение принимает вид: $12^0 : 12^{-2}$.

Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$12^{0 - (-2)} = 12^{0+2} = 12^2 = 144$

Ответ: 144

д)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.

Числитель: $(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2 = 2^{3 \cdot 5} \cdot 2^{-6 \cdot 2} = 2^{15} \cdot 2^{-12} = 2^{15+(-12)} = 2^3$.

Знаменатель: $4^2$. Приведем к основанию 2: $4 = 2^2$. Тогда $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$.

Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{2^3}{2^4}$.

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{3-4} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

е)

Упростим числитель и знаменатель, приведя все к основанию 3.

Числитель: $(3^{-2})^3 \cdot 9^4$. Мы знаем, что $9=3^2$.

$(3^{-2})^3 \cdot (3^2)^4 = 3^{-2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 4} = 3^{-6} \cdot 3^8 = 3^{-6+8} = 3^2$.

Знаменатель: $(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.

Дробь принимает вид: $\frac{3^2}{3^6}$.

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{2-6} = 3^{-4}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем:

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$