Номер 989, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 989, страница 219.

989. Вычислите:

а) $$\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-3};$$

б) $$\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-1};$$

в) $$0.01^{-2};$$

г) $$\\left(1\\frac{2}{3}\\right)^{-4};$$

д) $$0.002^{-1};$$

е) $$\\left(-1\\frac{1}{3}\\right)^{-5}. $$

а) Для вычисления выражения $(\frac{1}{3})^{-3}$ используется свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применяя это свойство, получаем:

$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3$

Теперь вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27

б) Для вычисления выражения $(\frac{3}{4})^{-1}$ воспользуемся свойством степени с показателем -1, которое для дроби выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.

Применяя это свойство, мы "переворачиваем" дробь:

$(\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$

Дробь можно оставить в виде неправильной или преобразовать в смешанное число $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Чтобы вычислить $0,01^{-2}$, сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,01 = \frac{1}{100}$

Теперь выражение принимает вид $(\frac{1}{100})^{-2}$. Применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2$

Вычислим квадрат 100:

$100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$

Ответ: 10000

г) Для вычисления $(1\frac{2}{3})^{-4}$ первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь у нас есть выражение $(\frac{5}{3})^{-4}$. Применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{5}{3})^{-4} = (\frac{3}{5})^4$

Возводим числитель и знаменатель в 4-ю степень:

$(\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{81}{625}$

Ответ: $\frac{81}{625}$

д) Чтобы вычислить $0,002^{-1}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,002 = \frac{2}{1000}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{500})^{-1}$. Применяя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:

$(\frac{1}{500})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{500}} = 500$

Ответ: 500

е) Для вычисления $(-1\frac{1}{3})^{-5}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, сохранив знак "минус":

$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

Выражение принимает вид $(-\frac{4}{3})^{-5}$. По свойству степени с отрицательным показателем:

$(-\frac{4}{3})^{-5} = (-\frac{3}{4})^5$

Так как показатель степени 5 является нечетным числом, знак "минус" сохранится в результате. Возведем дробь в степень:

$(-\frac{3}{4})^5 = -(\frac{3^5}{4^5}) = -\frac{243}{1024}$

Ответ: $-\frac{243}{1024}$