Номер 983, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 983, страница 217.

983. При каких натуральных $n$ дробь $\frac{(n-7)^2}{n}$ принимает натуральные значения?

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Нам необходимо найти все такие значения $n$, при которых дробь $\frac{(n-7)^2}{n}$ также принимает натуральные значения.

Для начала преобразуем данное выражение. Раскроем квадрат разности в числителе и выполним почленное деление:
$\frac{(n-7)^2}{n} = \frac{n^2 - 2 \cdot n \cdot 7 + 7^2}{n} = \frac{n^2 - 14n + 49}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{14n}{n} + \frac{49}{n} = n - 14 + \frac{49}{n}$

Пусть значение этого выражения равно $k$, где $k$ — натуральное число.
$k = n - 14 + \frac{49}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $n - 14$ является целым числом. Для того чтобы сумма $n - 14 + \frac{49}{n}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{49}{n}$ также было целым числом. Это условие выполняется только тогда, когда $n$ является натуральным делителем числа 49.

Найдем все натуральные делители числа 49. Это числа: 1, 7, 49.

Теперь необходимо проверить каждое из найденных значений $n$ и убедиться, что при подстановке в исходную дробь получается натуральное число (то есть положительное целое число).

• При $n=1$:
  $\frac{(1-7)^2}{1} = \frac{(-6)^2}{1} = 36$.
  Число 36 является натуральным, поэтому $n=1$ подходит.
• При $n=7$:
  $\frac{(7-7)^2}{7} = \frac{0^2}{7} = 0$.
  Число 0 не является натуральным числом, поэтому $n=7$ не подходит.
• При $n=49$:
  $\frac{(49-7)^2}{49} = \frac{42^2}{49} = \frac{1764}{49} = 36$.
  Число 36 является натуральным, поэтому $n=49$ подходит.

Таким образом, дробь принимает натуральные значения только при двух натуральных значениях $n$.

Ответ: 1, 49.