Номер 982, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 982, страница 217.

982. Найдите множество значений x, на котором функция $y = (x - 2)^{-1}$ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

а) положительные значения

Чтобы найти множество значений $x$, на котором функция $y = (x - 2)^{-1}$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.
Запишем функцию в виде дроби: $y = \frac{1}{x-2}$.
Теперь решим неравенство: $\frac{1}{x-2} > 0$.
Дробь будет положительной в том случае, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, это положительное число. Следовательно, знаменатель также должен быть положителен:
$x - 2 > 0$
Перенесем 2 в правую часть неравенства:
$x > 2$
Это неравенство соответствует числовому промежутку $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Чтобы найти множество значений $x$, на котором функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.
Используя дробное представление функции, получим неравенство: $\frac{1}{x-2} < 0$.
Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Поскольку числитель (1) является положительным числом, знаменатель должен быть отрицательным:
$x - 2 < 0$
Перенесем 2 в правую часть неравенства:
$x < 2$
Это неравенство соответствует числовому промежутку $(-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.