Номер 977, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 977, страница 216.

977. Вычислите:

а) $6 \cdot 12^{-1};$

б) $-4 \cdot 8^{-2};$

в) $6^{-1} - 3^{-2};$

г) $1,3^0 - 1,3^{-1};$

д) $12 - \left(\frac{1}{6}\right)^{-1};$

е) $25 + 0,1^{-2}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применим это свойство к $12^{-1}$:
$12^{-1} = \frac{1}{12^1} = \frac{1}{12}$.
Теперь выполним умножение:
$6 \cdot 12^{-1} = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

б) Используем то же свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для $8^{-2}$:
$8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Теперь выполним умножение:
$-4 \cdot 8^{-2} = -4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.

в) Преобразуем оба члена выражения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^{-1} = \frac{1}{6}$
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю 18:
$6^{-1} - 3^{-2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

г) Вспомним два свойства степени: любое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$ для $a \ne 0$) и свойство степени с отрицательным показателем.
$1,3^0 = 1$
$1,3^{-1} = \frac{1}{1,3} = \frac{10}{13}$
Теперь выполним вычитание:
$1,3^0 - 1,3^{-1} = 1 - \frac{10}{13} = \frac{13}{13} - \frac{10}{13} = \frac{3}{13}$.
Ответ: $\frac{3}{13}$.

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используется правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Применим это правило:
$(\frac{1}{6})^{-1} = (\frac{6}{1})^1 = 6$.
Теперь выполним вычитание:
$12 - (\frac{1}{6})^{-1} = 12 - 6 = 6$.
Ответ: 6.

е) Сначала представим десятичную дробь 0,1 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$. Затем используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$0,1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = (\frac{10}{1})^2 = 10^2 = 100$.
Теперь выполним сложение:
$25 + 0,1^{-2} = 25 + 100 = 125$.
Ответ: 125.