Номер 981, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 981, страница 217.

981. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a+b)^{-1}$;

б) $(a-b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$.

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1}$

Для преобразования выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждый из множителей в дробь:

$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

$(a + b)^{-1} = \frac{1}{a + b}$

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b+a}{ab}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное и перемножим их:

$(\frac{b+a}{ab}) \cdot (\frac{1}{a+b}) = \frac{a+b}{ab(a+b)}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$:

$\frac{\cancel{a+b}}{ab(\cancel{a+b})} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б) $(a - b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$

Снова используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для преобразования выражения.

Преобразуем каждый из множителей:

$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$

$a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

Приведем разность дробей во второй скобке к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$\frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{(a-b)^2 a^2b^2}$

Разложим числитель $b^2-a^2$ на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$

Вынесем минус за скобки в выражении $(b-a)$, чтобы получить $(a-b)$: $b-a = -(a-b)$.

Подставим это в нашу дробь:

$\frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)^2 a^2b^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$, при условии что $a-b \neq 0$:

$\frac{-\cancel{(a-b)}(a+b)}{(a-b)^{\cancel{2}} a^2b^2} = \frac{-(a+b)}{(a-b)a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$

Ответ: $-\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$