Страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

985. Найдите значение выражения:

а) $3^{-4} \cdot 3^{6}$;

б) $2^{4} \cdot 2^{-3}$;

в) $10^{8} \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6}$;

г) $2^{10} : 2^{12}$;

д) $5^{-3} : 5^{-3}$;

е) $3^{-4} : 3$;

ж) $(2^{-4})^{-1}$;

з) $(5^{2})^{-2} \cdot 5^{3}$;

и) $3^{-4} \cdot (3^{-2})^{-4}$.

а) Для нахождения значения выражения $3^{-4} \cdot 3^6$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство, получаем: $3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2$.

Вычисляем значение: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

б) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^{4-3} = 2^1$.

Значение выражения: $2^1 = 2$.

Ответ: 2

в) Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$ для всех множителей.

$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6} = 10^{8+(-5)+(-6)} = 10^{8-11} = 10^{-3}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001$.

Ответ: 0.001

г) Для нахождения значения выражения $2^{10} : 2^{12}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{10} : 2^{12} = 2^{10-12} = 2^{-2}$.

Вычисляем значение: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$5^{-3} : 5^{-3} = 5^{-3 - (-3)} = 5^{-3+3} = 5^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $5^0 = 1$.

Ответ: 1

е) Представим число 3 как $3^1$ и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$3^{-4} : 3 = 3^{-4} : 3^1 = 3^{-4-1} = 3^{-5}$.

Вычисляем значение: $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Ответ: $\frac{1}{243}$

ж) Для нахождения значения выражения $(2^{-4})^{-1}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^{-4})^{-1} = 2^{(-4) \cdot (-1)} = 2^4$.

Вычисляем значение: $2^4 = 16$.

Ответ: 16

з) Сначала упростим первый множитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$.

Теперь выражение имеет вид: $5^{-4} \cdot 5^3$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1}$.

Вычисляем значение: $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

и) Сначала упростим второй множитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$.

Теперь выражение имеет вид: $3^{-4} \cdot 3^8$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{-4} \cdot 3^8 = 3^{-4+8} = 3^4$.

Вычисляем значение: $3^4 = 81$.

Ответ: 81

986. Вычислите:

a) $5^{-15} \cdot 5^{16};$

б) $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3};$

в) $4^{-8} : 4^{-9};$

г) $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4};$

д) $(2^{-2})^{-3};$

е) $(0,1^{-3})^{-1}.$

а) $5^{-15} \cdot 5^{16}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство записывается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

б) $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3}$
Используем то же свойство, что и в пункте а): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3} = (\frac{1}{3})^{-4+3} = (\frac{1}{3})^{-1}$.
Число в отрицательной степени равно обратному ему числу в положительной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).
$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{1/3} = 3$.
Ответ: 3.

в) $4^{-8} : 4^{-9}$
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Свойство: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8+9} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.

г) $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4} = (\frac{1}{5})^{2-4} = (\frac{1}{5})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь и возвести ее в ту же степень, но с положительным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

д) $(2^{-2})^{-3}$
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. Свойство: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} = 2^6$.
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64.

е) $(0,1^{-3})^{-1}$
Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(0,1^{-3})^{-1} = 0,1^{(-3) \cdot (-1)} = 0,1^3$.
$0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Ответ: 0,001.

987. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.

Чтобы доказать, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны, нужно показать, что их произведение равно 1. По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице.

Пусть a — это произвольное число, отличное от нуля ($a \neq 0$).

Пусть n — это произвольный показатель степени. Тогда противоположный ему показатель будет -n.

Таким образом, нам нужно рассмотреть две степени: $a^n$ и $a^{-n}$.

Найдем их произведение. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^k = x^{m+k}$), получаем:
$a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)}$

Упростим показатель степени:
$n + (-n) = n - n = 0$

Следовательно, произведение равно:
$a^n \cdot a^{-n} = a^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как по условию $a \neq 0$, то:
$a^0 = 1$

Мы доказали, что произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно 1. Это означает, что данные степени являются взаимно обратными числами.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого числа $a \neq 0$ и любого показателя n, произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно $a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1$. Поскольку их произведение равно 1, они являются взаимно обратными.

988. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ при любом целом n, $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Для доказательства тождества $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ необходимо преобразовать его левую часть, последовательно применяя свойства степеней. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все операции деления и возведения в степень корректны.

Рассмотрим левую часть равенства: $(\frac{a}{b})^{-n}$.

Первым шагом воспользуемся определением степени с целым отрицательным показателем, которое гласит, что для любого ненулевого числа $x$ и целого $m$ справедливо равенство $x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Применив это правило к нашей дроби, получим:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$

Далее применим свойство возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}$. Это позволяет нам раскрыть скобки в знаменателе:

$\frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$

Мы получили многоэтажную дробь. Чтобы разделить единицу на дробь $\frac{a^n}{b^n}$, нужно умножить единицу на обратную ей дробь, то есть на $\frac{b^n}{a^n}$:

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$

Наконец, воспользуемся свойством возведения дроби в степень в обратном порядке: $\frac{x^m}{y^m} = (\frac{x}{y})^m$. Применим его к полученному выражению:

$\frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

Таким образом, в результате преобразований левой части равенства мы получили его правую часть: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

989. Вычислите:

а) $$\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-3};$$

б) $$\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-1};$$

в) $$0.01^{-2};$$

г) $$\\left(1\\frac{2}{3}\\right)^{-4};$$

д) $$0.002^{-1};$$

е) $$\\left(-1\\frac{1}{3}\\right)^{-5}. $$

а) Для вычисления выражения $(\frac{1}{3})^{-3}$ используется свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применяя это свойство, получаем:

$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3$

Теперь вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27

б) Для вычисления выражения $(\frac{3}{4})^{-1}$ воспользуемся свойством степени с показателем -1, которое для дроби выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.

Применяя это свойство, мы "переворачиваем" дробь:

$(\frac{3}{4})^{-1} = \frac{4}{3}$

Дробь можно оставить в виде неправильной или преобразовать в смешанное число $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Чтобы вычислить $0,01^{-2}$, сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,01 = \frac{1}{100}$

Теперь выражение принимает вид $(\frac{1}{100})^{-2}$. Применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2$

Вычислим квадрат 100:

$100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$

Ответ: 10000

г) Для вычисления $(1\frac{2}{3})^{-4}$ первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь у нас есть выражение $(\frac{5}{3})^{-4}$. Применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{5}{3})^{-4} = (\frac{3}{5})^4$

Возводим числитель и знаменатель в 4-ю степень:

$(\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{81}{625}$

Ответ: $\frac{81}{625}$

д) Чтобы вычислить $0,002^{-1}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,002 = \frac{2}{1000}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{500})^{-1}$. Применяя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:

$(\frac{1}{500})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{500}} = 500$

Ответ: 500

е) Для вычисления $(-1\frac{1}{3})^{-5}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, сохранив знак "минус":

$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$

Выражение принимает вид $(-\frac{4}{3})^{-5}$. По свойству степени с отрицательным показателем:

$(-\frac{4}{3})^{-5} = (-\frac{3}{4})^5$

Так как показатель степени 5 является нечетным числом, знак "минус" сохранится в результате. Возведем дробь в степень:

$(-\frac{3}{4})^5 = -(\frac{3^5}{4^5}) = -\frac{243}{1024}$

Ответ: $-\frac{243}{1024}$

990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

а) $27 \cdot 3^{-4}$;

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$;

в) $9^{-2} : 3^{-6}$;

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$.

а) $27 \cdot 3^{-4}$

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 3, сначала преобразуем число 27. Число 27 является третьей степенью числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение: $27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.

Теперь найдем значение полученного выражения. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$): $3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$

Сначала упростим каждый множитель, представив его в виде степени с основанием 3. Для первого множителя используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$.

Для второго множителя представим 81 как степень 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Тогда $81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.

Теперь перемножим полученные степени: $3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3$.

Найдем значение выражения: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: $3^3 = 27$.

в) $9^{-2} : 3^{-6}$

Представим делимое в виде степени с основанием 3. Число 9 это $3^2$. $9^{-2} = (3^2)^{-2}$.

По правилу возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2$.

Найдем значение выражения: $3^2 = 9$.

Ответ: $3^2 = 9$.

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$

Представим и делимое, и делитель в виде степеней с основанием 3. Начнем с делимого. $81 = 3^4$, поэтому $81^3 = (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.

Теперь преобразуем делитель. $9 = 3^2$. $(9^{-2})^{-3} = ((3^2)^{-2})^{-3}$. Упростим внутреннюю часть: $(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$. Теперь возведем в степень -3: $(3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12}$.

Теперь выполним деление: $3^{12} : 3^{12}$. При делении степеней с одинаковым основанием и одинаковыми показателями результат равен основанию в нулевой степени: $3^{12-12} = 3^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $3^0 = 1$.

Ответ: $3^0 = 1$.

991. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

а) $ \frac{1}{16} \cdot 2^{10};$

б) $32 \cdot (2^{-4})^2;$

в) $8^{-1} \cdot 4^3;$

г) $4^5 \cdot 16^{-2}.$

а) Чтобы представить выражение $\frac{1}{16} \cdot 2^{10}$ в виде степени с основанием 2, необходимо каждый множитель привести к этому основанию.
Представим число 16 как степень двойки: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Тогда дробь $\frac{1}{16}$ можно записать как $\frac{1}{2^4}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: $2^{-4} \cdot 2^{10}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6$.
Мы представили выражение в виде степени с основанием 2: $2^6$.
Теперь найдем его значение: $2^6 = 64$.
Ответ: 64.

б) Рассмотрим выражение $32 \cdot (2^{-4})^2$.
Сначала представим число 32 в виде степени с основанием 2: $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.
Далее упростим вторую часть выражения $(2^{-4})^2$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $2^5 \cdot 2^{-8}$.
Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели:
$2^5 \cdot 2^{-8} = 2^{5+(-8)} = 2^{5-8} = 2^{-3}$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^{-3}$.
Найдем его значение: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) Рассмотрим выражение $8^{-1} \cdot 4^3$.
Представим числа 8 и 4 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2^3$
$4 = 2^2$
Подставим эти значения в исходное выражение: $(2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3$.
Применим правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) для каждой части выражения:
$(2^3)^{-1} = 2^{3 \cdot (-1)} = 2^{-3}$
$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$
Теперь перемножим полученные степени: $2^{-3} \cdot 2^6$.
Сложим показатели: $2^{-3+6} = 2^3$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^3$.
Найдем его значение: $2^3 = 8$.
Ответ: 8.

г) Рассмотрим выражение $4^5 \cdot 16^{-2}$.
Представим числа 4 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$4 = 2^2$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в исходное выражение: $(2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2}$.
Воспользуемся свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$
$(2^4)^{-2} = 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{-8}$
Теперь перемножим полученные степени: $2^{10} \cdot 2^{-8}$.
Сложим показатели степеней: $2^{10+(-8)} = 2^{10-8} = 2^2$.
Выражение в виде степени с основанием 2: $2^2$.
Найдем его значение: $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

992. Представьте выражение, в котором $m$ — целое число, в виде степени с основанием 5:

а) $5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m};$

б) $(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m;$

в) $625 : 5^{4m - 2}.$

а) Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 5, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются.

$5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m} = 5^{m + (m+1) + (1-m)}$

Теперь упростим показатель степени, сложив все его члены:

$m + m + 1 + 1 - m = (m + m - m) + (1 + 1) = m + 2$

В результате получаем:

$5^{m+2}$

Ответ: $5^{m+2}$.

б) Для упрощения этого выражения нам понадобятся два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.

Сначала применим правило возведения степени в степень к каждому множителю:

$(5^m)^2 = 5^{m \cdot 2} = 5^{2m}$

$(5^{-3})^m = 5^{-3 \cdot m} = 5^{-3m}$

Теперь исходное выражение имеет вид $5^{2m} \cdot 5^{-3m}$. Применим правило умножения степеней:

$5^{2m} \cdot 5^{-3m} = 5^{2m + (-3m)} = 5^{2m - 3m} = 5^{-m}$

Ответ: $5^{-m}$.

в) В данном случае нам нужно использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^n : a^k = a^{n-k}$. Но сначала необходимо представить число 625 в виде степени с основанием 5.

Найдем нужную степень: $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$, $5^4=625$. Таким образом, $625 = 5^4$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$625 : 5^{4m-2} = 5^4 : 5^{4m-2}$

Применим правило деления степеней, вычитая из показателя делимого показатель делителя:

$5^{4 - (4m-2)} = 5^{4 - 4m + 2} = 5^{6 - 4m}$

Ответ: $5^{6-4m}$.

993. Вычислите:

а) $8^{-2} \cdot 4^3$;

б) $9^{-6} \cdot 27^5$;

в) $10^0 : 10^{-3}$;

г) $125^{-4} : 25^{-5}$;

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$;

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$;

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$;

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$.

а) $8^{-2} \cdot 4^3$

Для решения приведем основания степеней к одному числу — 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставим эти значения в исходное выражение:

$8^{-2} \cdot 4^3 = (2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{-6+6} = 2^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.

$2^0 = 1$

Ответ: 1

б) $9^{-6} \cdot 27^5$

Приведем основания 9 и 27 к общему основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$. Подставим в выражение:

$9^{-6} \cdot 27^5 = (3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5$

По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{2 \cdot (-6)} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{-12} \cdot 3^{15}$

По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{-12+15} = 3^3$

Вычисляем результат:

$3^3 = 27$

Ответ: 27

в) $10^0 : 10^{-3}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$10^0 : 10^{-3} = 10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3$

Вычисляем результат:

$10^3 = 1000$

Ответ: 1000

г) $125^{-4} : 25^{-5}$

Приведем основания 125 и 25 к общему основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим в выражение:

$125^{-4} : 25^{-5} = (5^3)^{-4} : (5^2)^{-5}$

По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{3 \cdot (-4)} : 5^{2 \cdot (-5)} = 5^{-12} : 5^{-10}$

По свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^{-12 - (-10)} = 5^{-12+10} = 5^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$

Сначала упростим знаменатель, используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$4^{-5} \cdot 4^{-6} = 4^{-5+(-6)} = 4^{-11}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{-21}}{4^{-11}}$

Приведем основание в знаменателе к 2. Так как $4 = 2^2$, то:

$4^{-11} = (2^2)^{-11} = 2^{2 \cdot (-11)} = 2^{-22}$

Подставим это значение обратно в дробь:

$\frac{2^{-21}}{2^{-22}}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$

Приведем все основания в числителе к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Подставим в числитель:

$4^{-2} \cdot 8^{-6} = (2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6} = 2^{-4} \cdot 2^{-18}$

Умножим степени в числителе:

$2^{-4 + (-18)} = 2^{-22}$

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{2^{-22}}{2^{-22}}$

Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1.

Ответ: 1

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$

Сначала упростим знаменатель: $(-3)^2 = 9$. Теперь приведем все основания к 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$. Подставим в выражение:

$\frac{3^{-10} \cdot (3^2)^8}{3^2}$

Упростим числитель, возведя степень в степень: $(3^2)^8 = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}$.

$\frac{3^{-10} \cdot 3^{16}}{3^2}$

Сложим показатели степеней в числителе: $3^{-10+16} = 3^6$.

$\frac{3^6}{3^2}$

Вычтем показатели степеней при делении:

$3^{6-2} = 3^4$

Вычисляем результат:

$3^4 = 81$

Ответ: 81

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$

Приведем все основания к 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$. Подставим в выражение:

$\frac{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}}{(5^3)^3}$

Упростим степени в числителе и знаменателе, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{5^{-5} \cdot 5^{2 \cdot 10}}{5^{3 \cdot 3}} = \frac{5^{-5} \cdot 5^{20}}{5^9}$

Упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{5^{-5+20}}{5^9} = \frac{5^{15}}{5^9}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{15-9} = 5^6$

Вычисляем результат:

$5^6 = 15625$

Ответ: 15625