Номер 1006, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1006, страница 221.

1006. Преобразуйте выражение:

а) $\frac{13x^{-2}}{y} \cdot \frac{y^{12}}{39x^{-3}};$

б) $\frac{5a^5}{b^{-7}} \cdot \frac{7b^{-3}}{25a};$

в) $\frac{p}{3c^{-2}} \cdot \frac{15c}{p^{-2}};$

г) $\frac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \frac{y}{13x^{25}}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{13x^{-2}}{y} \cdot \frac{y^{12}}{39x^{-3}}$

Для преобразования выражения перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{13x^{-2} \cdot y^{12}}{y \cdot 39x^{-3}}$

Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$\frac{13}{39} \cdot \frac{x^{-2}}{x^{-3}} \cdot \frac{y^{12}}{y}$

Упростим каждую группу. Сократим числовую дробь: $\frac{13}{39} = \frac{1}{3}$.

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для переменных:

Для переменной $x$: $\frac{x^{-2}}{x^{-3}} = x^{-2 - (-3)} = x^{-2 + 3} = x^1 = x$.

Для переменной $y$: $\frac{y^{12}}{y} = \frac{y^{12}}{y^1} = y^{12 - 1} = y^{11}$.

Собираем все части вместе:

$\frac{1}{3} \cdot x \cdot y^{11} = \frac{xy^{11}}{3}$

Ответ: $\frac{xy^{11}}{3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{5a^5}{b^{-7}} \cdot \frac{7b^{-3}}{25a}$

Перемножим числители и знаменатели:

$\frac{5a^5 \cdot 7b^{-3}}{b^{-7} \cdot 25a}$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{5 \cdot 7}{25} \cdot \frac{a^5}{a} \cdot \frac{b^{-3}}{b^{-7}}$

Упростим числовую часть: $\frac{35}{25} = \frac{7}{5}$.

Упростим переменные, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^5}{a^1} = a^{5-1} = a^4$.

Для переменной $b$: $\frac{b^{-3}}{b^{-7}} = b^{-3 - (-7)} = b^{-3+7} = b^4$.

Объединим полученные результаты:

$\frac{7}{5} \cdot a^4 \cdot b^4 = \frac{7a^4b^4}{5}$

Ответ: $\frac{7a^4b^4}{5}$

в)

Исходное выражение: $\frac{p}{3c^{-2}} \cdot \frac{15c}{p^{-2}}$

Объединим дроби, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{p \cdot 15c}{3c^{-2} \cdot p^{-2}}$

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$\frac{15}{3} \cdot \frac{p}{p^{-2}} \cdot \frac{c}{c^{-2}}$

Упростим каждую часть. Коэффициенты: $\frac{15}{3} = 5$.

Применим свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $p$: $\frac{p^1}{p^{-2}} = p^{1 - (-2)} = p^{1+2} = p^3$.

Для переменной $c$: $\frac{c^1}{c^{-2}} = c^{1 - (-2)} = c^{1+2} = c^3$.

Перемножим упрощенные части:

$5 \cdot p^3 \cdot c^3 = 5p^3c^3$

Ответ: $5p^3c^3$

г)

Исходное выражение: $\frac{26x^{17}}{y^{-8}} \cdot \frac{y}{13x^{25}}$

Перемножим дроби:

$\frac{26x^{17} \cdot y}{y^{-8} \cdot 13x^{25}}$

Сгруппируем отдельно коэффициенты и переменные:

$\frac{26}{13} \cdot \frac{x^{17}}{x^{25}} \cdot \frac{y}{y^{-8}}$

Упростим числовую дробь: $\frac{26}{13} = 2$.

Упростим дроби с переменными, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

Для переменной $x$: $\frac{x^{17}}{x^{25}} = x^{17-25} = x^{-8}$.

Для переменной $y$: $\frac{y^1}{y^{-8}} = y^{1 - (-8)} = y^{1+8} = y^9$.

Соберем результат: $2 \cdot x^{-8} \cdot y^9 = 2x^{-8}y^9$.

Чтобы избавиться от отрицательной степени в ответе, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2x^{-8}y^9 = \frac{2y^9}{x^8}$

Ответ: $\frac{2y^9}{x^8}$