Номер 1005, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1005, страница 221.

1005. Упростите выражение:

a) $\frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}};$

б) $\frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a};$

в) $\frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}};$

г) $\frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}}.$

а) Для упрощения выражения $ \frac{12x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \frac{y}{36x^{-9}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби, умножив числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

$ \frac{12x^{-5} \cdot y}{y^{-6} \cdot 36x^{-9}} $

2. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$ \frac{12}{36} \cdot \frac{x^{-5}}{x^{-9}} \cdot \frac{y^1}{y^{-6}} $

3. Упростим каждую часть. Сократим коэффициенты и применим правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $

$ \frac{x^{-5}}{x^{-9}} = x^{-5 - (-9)} = x^{-5+9} = x^4 $

$ \frac{y^1}{y^{-6}} = y^{1 - (-6)} = y^{1+6} = y^7 $

4. Объединим полученные результаты:

$ \frac{1}{3} \cdot x^4 \cdot y^7 = \frac{x^4y^7}{3} $

Ответ: $ \frac{x^4y^7}{3} $

б) Для упрощения выражения $ \frac{63a^2}{2b^{-5}} \cdot \frac{18b^2}{7a} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби:

$ \frac{63a^2 \cdot 18b^2}{2b^{-5} \cdot 7a} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{63 \cdot 18}{2 \cdot 7} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b^{-5}} $

3. Упростим каждую группу. Сократим числовые коэффициенты и применим свойства степеней:

$ \frac{63 \cdot 18}{14} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 18}{2 \cdot 7} = 9 \cdot 9 = 81 $

$ \frac{a^2}{a^1} = a^{2-1} = a $

$ \frac{b^2}{b^{-5}} = b^{2 - (-5)} = b^{2+5} = b^7 $

4. Объединим все части:

$ 81 \cdot a \cdot b^7 = 81ab^7 $

Ответ: $ 81ab^7 $

в) Для упрощения выражения $ \frac{5x^{-1}y^3}{3} \cdot \frac{9x^6}{y^{-2}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби, объединив их в одну:

$ \frac{5x^{-1}y^3 \cdot 9x^6}{3 \cdot y^{-2}} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{5 \cdot 9}{3} \cdot (x^{-1} \cdot x^6) \cdot \frac{y^3}{y^{-2}} $

3. Упростим каждую группу, используя правила умножения ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $) и деления ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $) степеней:

$ \frac{45}{3} = 15 $

$ x^{-1} \cdot x^6 = x^{-1+6} = x^5 $

$ \frac{y^3}{y^{-2}} = y^{3 - (-2)} = y^{3+2} = y^5 $

4. Запишем итоговое выражение:

$ 15x^5y^5 $

Ответ: $ 15x^5y^5 $

г) Для упрощения выражения $ \frac{16p^{-1}q^2}{5} \cdot \frac{25p^6}{64q^{-8}} $ выполним следующие действия:

1. Перемножим дроби:

$ \frac{16p^{-1}q^2 \cdot 25p^6}{5 \cdot 64q^{-8}} $

2. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} \cdot (p^{-1} \cdot p^6) \cdot \frac{q^2}{q^{-8}} $

3. Упростим каждую группу. Сократим коэффициенты и применим свойства степеней:

$ \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 64} = \frac{16}{64} \cdot \frac{25}{5} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} $

$ p^{-1} \cdot p^6 = p^{-1+6} = p^5 $

$ \frac{q^2}{q^{-8}} = q^{2 - (-8)} = q^{2+8} = q^{10} $

4. Объединим все части:

$ \frac{5}{4} p^5 q^{10} = \frac{5p^5q^{10}}{4} $

Ответ: $ \frac{5p^5q^{10}}{4} $