Номер 969, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 969, страница 215.

969. Найдите значение выражения:

а) $-10^{-4};$

б) $-0,2^{-3};$

в) $(-0,8)^{-2};$

г) $(-0,5)^{-5};$

д) $-(-2)^{-3};$

е) $-(-3)^{-2}.$

а) Для выражения $-10^{-4}$ сначала вычисляется степень, а затем применяется унарный минус. Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$ -10^{-4} = -(10^{-4}) = -\frac{1}{10^4} = -\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = -\frac{1}{10000} = -0,0001 $

Ответ: $-0,0001$.

б) В выражении $-0,2^{-3}$ порядок действий аналогичен предыдущему примеру. Сначала вычислим $0,2^{-3}$. Удобнее представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$ -0,2^{-3} = -((\frac{1}{5})^{-3}) = -(\frac{5}{1})^3 = -5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125 $

Ответ: $-125$.

в) В выражении $(-0,8)^{-2}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,8)$. Так как показатель степени $(-2)$ является четным числом, результат будет положительным. Представим основание в виде обыкновенной дроби: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.

$ (-0,8)^{-2} = (-\frac{4}{5})^{-2} = (\frac{1}{-\frac{4}{5}})^2 = (-\frac{5}{4})^2 = \frac{(-5)^2}{4^2} = \frac{25}{16} $

Чтобы перевести в десятичную дробь, разделим числитель на знаменатель: $25 \div 16 = 1,5625$.

Ответ: $1,5625$.

г) В выражении $(-0,5)^{-5}$ основание степени - отрицательное число $(-0,5)$, а показатель степени $(-5)$ - нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным. Представим $-0,5$ как $-\frac{1}{2}$.

$ (-0,5)^{-5} = (-\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{1}{-\frac{1}{2}})^5 = (-2)^5 = -32 $

Ответ: $-32$.

д) В выражении $-(-2)^{-3}$ сначала необходимо вычислить значение степени $(-2)^{-3}$. Основание $(-2)$ отрицательное, а показатель $(-3)$ нечетный, поэтому результат будет отрицательным.

$ (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} $

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$ -(-2)^{-3} = -(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} $

В виде десятичной дроби: $\frac{1}{8} = 0,125$.

Ответ: $0,125$.

е) В выражении $-(-3)^{-2}$ сначала вычисляем степень $(-3)^{-2}$. Основание $(-3)$ отрицательное, а показатель $(-2)$ четный, поэтому результат возведения в степень будет положительным.

$ (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} $

Далее применяем унарный минус, стоящий перед скобками:

$ -(-3)^{-2} = -(\frac{1}{9}) = -\frac{1}{9} $

Ответ: $-\frac{1}{9}$.