Номер 824, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 824, страница 185.

824. Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 2)$ число $1,98$? Укажите два числа, большие $1,98$, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?

Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 2)$ число 1,98?
Промежуток $(-\infty; 2)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше 2. Это условие можно записать в виде неравенства: $x < 2$.
Чтобы определить, принадлежит ли число 1,98 этому промежутку, необходимо проверить, выполняется ли для него данное неравенство.
Сравним числа 1,98 и 2: $1,98 < 2$.
Так как неравенство является верным, число 1,98 принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$.
Ответ: да, принадлежит.

Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку.
Требуется найти два числа, обозначим их $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Числа должны быть больше 1,98, то есть $x > 1,98$.
2. Числа должны принадлежать промежутку $(-\infty; 2)$, то есть быть меньше 2: $x < 2$.
Таким образом, мы ищем два числа, которые удовлетворяют двойному неравенству $1,98 < x < 2$.
Между любыми двумя различными действительными числами, такими как 1,98 и 2, существует бесконечное множество других чисел. Можно выбрать любые из них.
Например, возьмем число 1,99. Оно удовлетворяет условиям: $1,98 < 1,99$ и $1,99 < 2$.
В качестве второго примера возьмем число 1,985. Оно также удовлетворяет условиям: $1,98 < 1,985$ и $1,985 < 2$.
Ответ: 1,99 и 1,985.

Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку?
Промежуток $(-\infty; 2)$ является открытым справа, что означает, что его правая граница, число 2, не включается в сам промежуток. Число 2 является точной верхней гранью (супремумом) для этого множества чисел.
Предположим, что в этом промежутке существует наибольшее число, назовем его $M$. По определению промежутка, это число должно быть строго меньше 2, то есть $M < 2$.
Однако, для любого такого числа $M$ можно найти другое число, которое будет больше $M$, но все еще меньше 2. Например, можно взять среднее арифметическое чисел $M$ и 2: $M' = \frac{M+2}{2}$.
Поскольку $M < 2$, будет верным и неравенство $M < M' < 2$.
Это означает, что мы нашли число $M'$, которое также принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$, но при этом $M' > M$. Это противоречит нашему начальному предположению о том, что $M$ — наибольшее число.
Следовательно, для любого числа из этого промежутка можно найти другое число, которое еще больше, но все еще принадлежит промежутку.
Ответ: нет, наибольшее число в этом промежутке найти невозможно.

Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
Промежуток $(-\infty; 2)$ неограничен слева. Символ $-\infty$ (минус бесконечность) указывает на то, что множество чисел уходит по числовой оси влево без какой-либо нижней границы.
Это означает, что для любого числа $N$, которое мы бы ни взяли из этого промежутка, всегда можно найти другое число, которое будет еще меньше и также будет принадлежать этому промежутку. Например, число $N - 1$. Если $N < 2$, то и $N-1$ будет меньше 2, то есть $N-1 \in (-\infty; 2)$.
Таким образом, в данном промежутке нет такого числа, которое было бы меньше всех остальных чисел этого промежутка.
Ответ: нет, наименьшего числа в этом промежутке не существует.