Номер 828, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 828, страница 186.

828. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

а) $ (-3; +\infty) $ и $ (4; +\infty) $;

б) $ (-\infty; 2) $ и $ [0; +\infty) $;

в) $ (-\infty; 6) $ и $ (-\infty; 9) $;

г) $ [1; 5] $ и $ [0; 8] $.

а) Даны промежутки $(-3; +\infty)$ и $(4; +\infty)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Первый промежуток, $(-3; +\infty)$, включает все числа, строго большие -3. На прямой это луч, начинающийся от выколотой (незакрашенной) точки -3 и уходящий вправо к плюс бесконечности. Второй промежуток, $(4; +\infty)$, включает все числа, строго большие 4. Это луч от выколотой точки 4, также уходящий вправо.

Пересечение ($ \cap $) — это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам. На координатной прямой это их общая часть. Чтобы число попало в пересечение, оно должно быть одновременно больше -3 и больше 4. Этому условию удовлетворяют все числа, которые строго больше 4.
$(-3; +\infty) \cap (4; +\infty) = (4; +\infty)$.

Объединение ($ \cup $) — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. На прямой это вся область, покрытая штриховкой. Если число больше 4, оно принадлежит обоим промежуткам. Если число находится между -3 и 4 (включая 4), оно принадлежит первому промежутку. Таким образом, объединение включает все числа, которые строго больше -3.
$(-3; +\infty) \cup (4; +\infty) = (-3; +\infty)$.

Ответ: пересечение $(4; +\infty)$, объединение $(-3; +\infty)$.

б) Даны промежутки $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$.

Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток, $(-\infty; 2)$, — это все числа, строго меньшие 2. На прямой это луч, идущий от минус бесконечности до выколотой точки 2. Второй промежуток, $[0; +\infty)$, — это все числа, большие или равные 0. На прямой это луч, начинающийся от закрашенной точки 0 и уходящий вправо к плюс бесконечности.

Пересечение ($ \cap $) — это их общая часть. Ищем числа, которые одновременно меньше 2 и больше или равны 0. Это все числа, заключенные между 0 и 2. При этом 0 входит в промежуток (так как точка 0 закрашенная и принадлежит второму промежутку, а также меньше 2, то есть принадлежит и первому), а 2 не входит (так как точка 2 выколотая и не принадлежит первому промежутку).
$(-\infty; 2) \cap [0; +\infty) = [0; 2)$.

Объединение ($ \cup $) — это вся заштрихованная область. Первый промежуток покрывает все числа до 2. Второй — все числа от 0 и больше. Вместе они покрывают всю числовую прямую без пропусков.
$(-\infty; 2) \cup [0; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $[0; 2)$, объединение $(-\infty; +\infty)$.

в) Даны промежутки $(-\infty; 6)$ и $(-\infty; 9)$.

Изобразим их на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 6)$ — это все числа, строго меньшие 6. Промежуток $(-\infty; 9)$ — это все числа, строго меньшие 9. Оба промежутка — это лучи, идущие влево от выколотых точек 6 и 9 соответственно.

Пересечение ($ \cap $) — это общая часть. Любое число, которое меньше 6, автоматически меньше 9. Поэтому общая часть — это все числа, которые меньше 6. Промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 9)$.
$(-\infty; 6) \cap (-\infty; 9) = (-\infty; 6)$.

Объединение ($ \cup $) — это вся заштрихованная область. Так как все числа, меньшие 6, также являются числами, меньшими 9, объединение этих двух множеств будет большим из них.
$(-\infty; 6) \cup (-\infty; 9) = (-\infty; 9)$.

Ответ: пересечение $(-\infty; 6)$, объединение $(-\infty; 9)$.

г) Даны промежутки $[1; 5]$ и $[0; 8]$.

Изобразим их на координатной прямой. Это два отрезка. Первый, $[1; 5]$, включает все числа от 1 до 5 включительно (точки 1 и 5 закрашены). Второй, $[0; 8]$, включает все числа от 0 до 8 включительно (точки 0 и 8 закрашены).

Пересечение ($ \cap $) — это общая часть двух отрезков. Накладывая один отрезок на другой, мы видим, что их общая часть начинается в точке 1 и заканчивается в точке 5. Обе точки включены.
$[1; 5] \cap [0; 8] = [1; 5]$.

Объединение ($ \cup $) — это вся область, покрытая хотя бы одним из отрезков. Отрезок $[1; 5]$ полностью лежит внутри отрезка $[0; 8]$. Поэтому их объединение совпадает с большим отрезком.
$[1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]$.

Ответ: пересечение $[1; 5]$, объединение $[0; 8]$.