Номер 831, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 831, страница 186.

831. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.

Для решения данной задачи составим уравнение, основанное на связи между скоростью, временем и расстоянием.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого поезда. Тогда скорость обратного поезда, который ехал быстрее, составляет $(x + 5)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 120 км.

Время, затраченное на путь туда, можно выразить как $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{x}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{120}{x+5}$ часов.

По условию, на обратный путь пассажир затратил на 20 минут меньше. Переведем 20 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$

Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$ часа. Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+5} = \frac{1}{3}$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{120(x+5) - 120x}{x(x+5)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{120x + 600 - 120x}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3}$

$\frac{600}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$x^2 + 5x = 600 \cdot 3$

$x^2 + 5x = 1800$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 1800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = 5, c = -1800$

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$

$x_1 = \frac{-5 + 85}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-5 - 85}{2 \cdot 1} = \frac{-90}{2} = -45$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -45$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого поезда равна 40 км/ч.

Найдем скорость обратного поезда:

$x + 5 = 40 + 5 = 45$ км/ч.

Проверка:

Время в пути первого поезда: $t_1 = \frac{120}{40} = 3$ часа.

Время в пути обратного поезда: $t_2 = \frac{120}{45} = \frac{8}{3}$ часа $= 2 \frac{2}{3}$ часа, что равно 2 часам и 40 минутам.

Разница во времени: $3$ часа $- 2$ часа $40$ минут $= 20$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость обратного поезда 45 км/ч.