Номер 830, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 830, страница 186.

830. Докажите неравенство $a^2 + 5 > 2a$.

Для доказательства неравенства $a^2 + 5 > 2a$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 2a + 5 > 0$

Теперь докажем, что выражение в левой части всегда положительно при любом значении $a$. Для этого выделим в выражении полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первые два члена, $a^2 - 2a$, являются частью полного квадрата $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Чтобы получить этот квадрат, представим число 5 в виде суммы $1 + 4$:

$a^2 - 2a + 1 + 4 > 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 2a + 1) + 4 > 0$

Заменим выражение в скобках на квадрат разности:

$(a - 1)^2 + 4 > 0$

Проанализируем полученное неравенство:

Выражение $(a - 1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

Наименьшее значение, которое может принять выражение $(a - 1)^2$, равно 0. Это значение достигается при $a = 1$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения в левой части, $(a - 1)^2 + 4$, составляет $0 + 4 = 4$.

Таким образом, для любого значения $a$ справедливо, что $(a - 1)^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a - 1)^2 + 4$ всегда будет строго больше нуля. Это доказывает, что неравенство $(a - 1)^2 + 4 > 0$ верно для всех действительных значений $a$.

Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2 + 5 > 2a$ верно для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.