Номер 829, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 829, страница 186.

829. Упростите выражение:

a) $\frac{1 + \frac{a-x}{x}}{\frac{x}{ax}}$;

б) $\frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{2a^2b^2} - 1$.

а)

Чтобы упростить данное выражение, мы последовательно выполним преобразования. Исходное выражение представляет собой сложную дробь:

$ \frac{1 + \frac{a-x}{x}}{ax} $

1. Сначала упростим числитель основной дроби. Для этого приведем единицу к общему знаменателю $x$ и сложим с дробью:

$ 1 + \frac{a-x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a-x}{x} = \frac{x + a - x}{x} = \frac{a}{x} $

2. Теперь подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{a}{x}}{ax} $

3. Это выражение означает деление дроби $ \frac{a}{x} $ на $ax$. Чтобы разделить дробь на выражение, мы можем умножить ее на обратное выражение $ \frac{1}{ax} $:

$ \frac{a}{x} \cdot \frac{1}{ax} = \frac{a}{x \cdot ax} = \frac{a}{ax^2} $

4. Сократим полученную дробь на общий множитель $a$ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ x \neq 0 $):

$ \frac{a}{ax^2} = \frac{1}{x^2} $

Ответ: $ \frac{1}{x^2} $.

б)

Рассмотрим второе выражение и упростим его по аналогии с первым:

$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2} $

1. Упростим числитель основной дроби. Приведем $1$ к общему знаменателю $a^2$ и выполним вычитание:

$ \frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} - \frac{a^2}{a^2} = \frac{(a^2 - b^2) - a^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2}{a^2} = \frac{-b^2}{a^2} $

2. Подставим упрощенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{\frac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2} $

3. Разделим полученную дробь $ \frac{-b^2}{a^2} $ на знаменатель $ 2a^2b^2 $:

$ \frac{-b^2}{a^2} \div (2a^2b^2) = \frac{-b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{2a^2b^2} = \frac{-b^2}{a^2 \cdot 2a^2b^2} = \frac{-b^2}{2a^4b^2} $

4. Сократим дробь на общий множитель $b^2$ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $):

$ \frac{-b^2}{2a^4b^2} = -\frac{1}{2a^4} $

Ответ: $ -\frac{1}{2a^4} $.