Номер 825, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 825, страница 185.

825. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

a) $ (1; 8) $ и $ (5; 10) $;

б) $ [-4; 4] $ и $ [-6; 6] $;

в) $ (5; +\infty) $ и $ (7; +\infty) $;

г) $ (-\infty; 10) $ и $ (-\infty; 6) $.

а) (1; 8) и (5; 10)

Чтобы найти пересечение двух промежутков, изобразим их на одной координатной прямой. Пересечением промежутков называется их общая часть.
Первый промежуток $(1; 8)$ — это все числа, которые больше 1 и меньше 8. На координатной прямой это интервал, ограниченный выколотыми (пустыми) точками 1 и 8.
Второй промежуток $(5; 10)$ — это все числа, которые больше 5 и меньше 10. На координатной прямой это интервал, ограниченный выколотыми точками 5 и 10.

Из чертежа видно, что общей частью является промежуток от 5 до 8. Так как точки 5 и 8 выколотые, они не входят в пересечение.
Запись решения: $(1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8)$.
Ответ: $(5; 8)$

б) [-4; 4] и [-6; 6]

Изобразим оба отрезка на координатной прямой.
Первый промежуток $[-4; 4]$ — это все числа, которые больше или равны -4 и меньше или равны 4. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками -4 и 4.
Второй промежуток $[-6; 6]$ — это все числа, которые больше или равны -6 и меньше или равны 6. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками -6 и 6.

Общей частью этих двух промежутков является та область, где они накладываются. Видно, что отрезок $[-4; 4]$ полностью содержится внутри отрезка $[-6; 6]$. Следовательно, их пересечение и есть отрезок $[-4; 4]$.
Запись решения: $[-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$

в) $(5; +\infty)$ и $(7; +\infty)$

Изобразим оба луча на координатной прямой.
Первый промежуток $(5; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше 5. На прямой это луч, начинающийся в выколотой точке 5 и уходящий вправо к $+\infty$.
Второй промежуток $(7; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше 7. На прямой это луч, начинающийся в выколотой точке 7 и уходящий вправо к $+\infty$.

Пересечением является их общая часть. Все числа, которые больше 7, также являются и числами, которые больше 5. Таким образом, общая часть начинается с 7 (не включая) и уходит в бесконечность.
Запись решения: $(5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty)$.
Ответ: $(7; +\infty)$

г) $(-\infty; 10)$ и $(-\infty; 6)$

Изобразим оба луча на координатной прямой.
Первый промежуток $(-\infty; 10)$ — это все числа, которые строго меньше 10. На прямой это луч, идущий от $-\infty$ до выколотой точки 10.
Второй промежуток $(-\infty; 6)$ — это все числа, которые строго меньше 6. На прямой это луч, идущий от $-\infty$ до выколотой точки 6.

Общей частью является та область, где промежутки накладываются. Все числа, которые меньше 6, также являются и числами, которые меньше 10. Таким образом, промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 10)$. Их пересечение — это $(-\infty; 6)$.
Запись решения: $(-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6)$.
Ответ: $(-\infty; 6)$