Номер 827, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Числовые промежутки. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 827, страница 185.

827. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

а) $ [-7; 0] $ и $ [-3; 5] $

б) $ (-4; 1) $ и $ (10; 12) $

в) $ (-\infty; 4) $ и $ (10; +\infty) $

г) $ [3; +\infty) $ и $ (8; +\infty) $

а) Чтобы найти объединение промежутков $[-7; 0]$ и $[-3; 5]$, нужно взять все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. На координатной прямой отметим точки $-7, -3, 0, 5$. Так как оба промежутка являются отрезками (квадратные скобки), все граничные точки будут закрашенными. Первый промежуток $[-7; 0]$ представляет собой штриховку от $-7$ до $0$ включительно. Второй промежуток $[-3; 5]$ — штриховку от $-3$ до $5$ включительно. Объединение — это вся область, покрытая штриховкой. Она начинается в самой левой точке, $-7$, и заканчивается в самой правой, $5$. Поскольку промежутки пересекаются, их объединение представляет собой один сплошной отрезок от $-7$ до $5$. Математически это записывается как $[-7; 0] \cup [-3; 5] = [-7; 5]$.
Ответ: $[-7; 5]$.

б) Рассмотрим объединение промежутков $(-4; 1)$ и $(10; 12)$. На координатной прямой отметим точки $-4, 1, 10, 12$. Так как оба промежутка являются интервалами (круглые скобки), все граничные точки будут выколотыми (незакрашенными). Штриховка для первого промежутка будет расположена между $-4$ и $1$. Штриховка для второго — между $10$ и $12$. Эти два промежутка не пересекаются, между ними есть разрыв (от $1$ до $10$). Поэтому их объединение состоит из двух отдельных частей. Записать это объединение в виде одного промежутка нельзя. Оно так и останется объединением двух интервалов. Математическая запись: $(-4; 1) \cup (10; 12)$.
Ответ: $(-4; 1) \cup (10; 12)$.

в) Найдем объединение промежутков $(-\infty; 4)$ и $(10; +\infty)$. Первый промежуток — это все числа, меньшие $4$. Второй — все числа, большие $10$. На координатной прямой отметим точки $4$ и $10$ выколотыми, так как скобки круглые. Заштрихуем область слева от $4$ и область справа от $10$. Эти два промежутка (луча) не пересекаются. Их объединение будет состоять из двух несвязанных частей. Таким образом, объединение записывается как $(-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.

г) Найдем объединение промежутков $[3; +\infty)$ и $(8; +\infty)$. Первый промежуток — это все числа, большие или равные $3$. Второй — все числа, строго большие $8$. На координатной прямой отметим точку $3$ закрашенной (квадратная скобка) и точку $8$ выколотой (круглая скобка). Заштрихуем область от $3$ вправо до бесконечности. Затем заштрихуем область от $8$ вправо до бесконечности. Мы видим, что второй промежуток $(8; +\infty)$ полностью содержится в первом промежутке $[3; +\infty]$. Объединение двух множеств, одно из которых является подмножеством другого, равно большему из этих множеств. Следовательно, вся заштрихованная область начинается в точке $3$ и уходит вправо в бесконечность. Математически: $[3; +\infty) \cup (8; +\infty) = [3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.