Страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

773. Измеряя длину $a$ и ширину $b$ прямоугольника (в сантиметрах), нашли, что $5,4 < a < 5,5$ и $3,6 < b < 3,7$.

Оцените:

а) периметр прямоугольника;

б) площадь прямоугольника.

а) периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. По условию задачи даны следующие оценки для сторон (в сантиметрах):
$5,4 < a < 5,5$
$3,6 < b < 3,7$

Чтобы найти оценку для периметра, сначала оценим сумму $(a + b)$. Для этого, согласно свойству сложения неравенств одного знака, сложим почленно левые и правые части:
$5,4 + 3,6 < a + b < 5,5 + 3,7$
Выполнив сложение, получаем:
$9,0 < a + b < 9,2$

Теперь умножим все части полученного двойного неравенства на 2, чтобы найти оценку для периметра $P = 2(a+b)$:
$2 \cdot 9,0 < 2(a + b) < 2 \cdot 9,2$
$18 < P < 18,4$

Ответ: $18 < P < 18,4$.

б) площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Мы используем те же исходные оценки для сторон:
$5,4 < a < 5,5$
$3,6 < b < 3,7$

Так как все части неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, чтобы найти оценку для площади $S$:
$5,4 \cdot 3,6 < a \cdot b < 5,5 \cdot 3,7$

Вычислим значения произведений в левой и правой частях неравенства:
$5,4 \times 3,6 = 19,44$
$5,5 \times 3,7 = 20,35$

Таким образом, получаем итоговую оценку для площади $S$:
$19,44 < S < 20,35$

Ответ: $19,44 < S < 20,35$.

774. Известны границы длины $a$ и ширины $b$ (в метрах) комнаты прямоугольной формы: $7,5 \le a \le 7,6$ и $5,4 \le b \le 5,5$. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее $40 \text{ м}^2$?

Чтобы определить, подходит ли комната для библиотеки, нужно вычислить диапазон ее возможной площади $S$ и сравнить с требуемым значением.

Площадь прямоугольной комнаты вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

По условию задачи, даны следующие границы для длины и ширины комнаты:
$7,5 \le a \le 7,6$ (в метрах)
$5,4 \le b \le 5,5$ (в метрах)

Поскольку все значения в неравенствах положительные, мы можем их перемножить, чтобы найти границы для площади $S$.

Найдем минимально возможную площадь $S_{min}$, перемножив минимальные значения длины и ширины:
$S_{min} = 7,5 \cdot 5,4 = 40,5$ м².

Найдем максимально возможную площадь $S_{max}$, перемножив максимальные значения длины и ширины:
$S_{max} = 7,6 \cdot 5,5 = 41,8$ м².

Таким образом, площадь комнаты $S$ находится в пределах от 40,5 м² до 41,8 м² включительно:
$40,5 \le S \le 41,8$

Требование для библиотеки — комната площадью не менее 40 м², что математически записывается как $S \ge 40$ м².

Сравнивая полученный диапазон площади с требованием, мы видим, что минимальная возможная площадь комнаты (40,5 м²) больше, чем требуемая минимальная площадь (40 м²). Это означает, что при любых допустимых значениях длины и ширины площадь комнаты будет удовлетворять условию.

Ответ: да, это помещение подойдёт для библиотеки.

775. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника. Известно, что

$58^\circ \le \alpha \le 59^\circ,$

$102^\circ \le \beta \le 103^\circ.$

Оцените величину третьего угла.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника. По теореме о сумме углов треугольника, их сумма равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Из этого равенства можно выразить третий угол $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

По условию задачи даны диапазоны для углов $\alpha$ и $\beta$:
$58^\circ \le \alpha \le 59^\circ$
$102^\circ \le \beta \le 103^\circ$

Чтобы оценить величину угла $\gamma$, сначала найдем диапазон значений для суммы $\alpha + \beta$. Для этого сложим почленно данные неравенства.
Минимальное значение суммы: $58^\circ + 102^\circ = 160^\circ$.
Максимальное значение суммы: $59^\circ + 103^\circ = 162^\circ$.
Таким образом, для суммы углов $\alpha + \beta$ имеем следующее неравенство:
$160^\circ \le \alpha + \beta \le 162^\circ$

Теперь подставим полученный диапазон в формулу для $\gamma$.
Чтобы найти минимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть максимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{min} = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$
Чтобы найти максимальное значение $\gamma$, нужно из $180^\circ$ вычесть минимальное значение суммы $(\alpha + \beta)$:
$\gamma_{max} = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Следовательно, величина третьего угла $\gamma$ находится в пределах от $18^\circ$ до $20^\circ$ включительно.

Ответ: $18^\circ \le \gamma \le 20^\circ$.

776. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство:

а) $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc;$

б) $\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \ge abc.$

1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел $a$ и $b$.

2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

1) При доказательстве неравенств можно использовать различные свойства. Основные из них:

• Свойство транзитивности: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
• К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится: если $a > b$, то $a+c > b+c$.
• Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.
• Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.
• Неравенства одинакового знака можно почленно складывать: если $a > b$ и $c > d$, то $a+c > b+d$.
• Неравенства одинакового знака с неотрицательными членами можно почленно перемножать: если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $ac \ge bd$.

Неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ (неравенство Коши), записывается так:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Его также часто используют в виде $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

2) Проведем доказательство каждого неравенства.

а) Докажем, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$.

Воспользуемся неравенством Коши ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждой из скобок в левой части:

1. Для чисел $a$ и $b$: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

2. Для чисел $b$ и $c$: $b+c \ge 2\sqrt{bc}$

3. Для чисел $a$ и $c$: $a+c \ge 2\sqrt{ac}$

Поскольку по условию $a, b, c$ неотрицательны, все части полученных неравенств также неотрицательны. Поэтому мы можем почленно их перемножить:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac})$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$8 \cdot \sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8 \cdot \sqrt{a^2b^2c^2} = 8|abc|$

Так как $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то их произведение $abc \ge 0$, и, следовательно, $|abc| = abc$.

Таким образом, мы доказали, что $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$.

Ответ: Неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$ доказано с помощью трехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, b), (b, c), (a, c)$ и последующего перемножения полученных неравенств.

б) Докажем, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$.

Снова воспользуемся неравенством Коши ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждого из множителей в числителе дроби:

1. Для чисел $a$ и $1$: $a+1 \ge 2\sqrt{a \cdot 1} = 2\sqrt{a}$

2. Для чисел $b$ и $1$: $b+1 \ge 2\sqrt{b \cdot 1} = 2\sqrt{b}$

3. Для чисел $a$ и $c$: $a+c \ge 2\sqrt{ac}$

4. Для чисел $b$ и $c$: $b+c \ge 2\sqrt{bc}$

Все части этих четырех неравенств неотрицательны, поэтому мы можем их почленно перемножить:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge (2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{ac}) \cdot (2\sqrt{bc})$

Упростим правую часть:

$16 \cdot \sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc} = 16 \cdot \sqrt{a^2b^2c^2} = 16|abc|$

Так как $a, b, c$ неотрицательны, то $|abc|=abc$.

Мы получили неравенство: $(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16abc$.

Теперь разделим обе части этого неравенства на положительное число 16. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge \frac{16abc}{16}$

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$

Ответ: Неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$ доказано с помощью четырехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, 1), (b, 1), (a, c), (b, c)$, последующего перемножения и деления на 16.

777. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.

Пусть нам дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его стороны — это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Его диагонали — это отрезки $AC$ и $BD$. Поскольку четырехугольник является выпуклым, его диагонали пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Нам нужно доказать, что сумма длин двух противоположных сторон (например, $AB$ и $CD$) меньше суммы длин его диагоналей ($AC$ и $BD$). Математически это можно записать в виде неравенства:

$AB + CD < AC + BD$

Для доказательства воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются при пересечении диагоналей: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Для треугольника $\triangle AOB$ запишем неравенство треугольника: $OA + OB > AB$

2. Для треугольника $\triangle COD$ запишем неравенство треугольника: $OC + OD > CD$

Теперь сложим эти два неравенства. Сложим левые части с левыми, а правые — с правыми:

$(OA + OB) + (OC + OD) > AB + CD$

Сгруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:

$(OA + OC) + (OB + OD) > AB + CD$

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то сумма длин отрезков $OA$ и $OC$ равна длине диагонали $AC$, то есть $OA + OC = AC$. Аналогично, точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $OB + OD = BD$.

Произведем замену в нашем неравенстве:

$AC + BD > AB + CD$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Аналогичное доказательство можно провести и для другой пары противоположных сторон ($BC$ и $AD$), рассмотрев треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Ответ: Неравенство доказано. Сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника действительно меньше суммы длин его диагоналей.

778. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

1) Начертите произвольный треугольник $ABC$ и проведите медиану $BO$.

2) На луче $BO$ отложите отрезок $OD = BO$ и соедините точку $D$ с точками $A$ и $C$. Какой вид имеет четырёхугольник $ABCD$?

3) Рассмотрите треугольник $ABD$. Сравните $2m_b$ с суммой $BC + AB$ ($m_b$ — медиана $BO$).

4) Составьте аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$.

5) Используя сложение неравенств, оцените сумму $m_a + m_b + m_c$.

1)

Начертим произвольный треугольник $ABC$. Проведём медиану $BO$, где $O$ — середина стороны $AC$.

Пусть стороны треугольника равны $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. Периметр треугольника $P = a+b+c$.

Медианы, проведённые к сторонам $a$, $b$ и $c$, обозначим соответственно $m_a$, $m_b$ и $m_c$. В данном случае, $BO = m_b$.

2)

На луче $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OD$, равный отрезку $BO$. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $C$. Получим четырёхугольник $ABCD$.

Рассмотрим диагонали этого четырёхугольника: $AC$ и $BD$.

По определению медианы, точка $O$ является серединой стороны $AC$, то есть $AO = OC$.

По построению, $BO = OD$. Это означает, что точка $O$ также является серединой отрезка $BD$.

Так как диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

3)

Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — это $AB$, $AD$ и $BD$.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны. Для треугольника $ABD$ запишем неравенство:

$AB + AD > BD$

Так как $ABCD$ — параллелограмм (из пункта 2), его противоположные стороны равны. Следовательно, $AD = BC$.

Длина отрезка $BD$ по построению равна $BO + OD$. Поскольку $OD = BO$, то $BD = BO + BO = 2BO$.

Медиана $BO$ обозначена как $m_b$. Значит, $BD = 2m_b$.

Подставим эти выражения в неравенство треугольника:

$AB + BC > 2m_b$

Таким образом, удвоенная длина медианы $m_b$ меньше суммы сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: $2m_b < AB + BC$.

4)

Проведём аналогичные рассуждения для двух других медиан треугольника $ABC$: $m_a$ (медиана к стороне $BC$) и $m_c$ (медиана к стороне $AB$).

Для медианы $m_a$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$, аналогичное неравенство будет связывать её с двумя другими сторонами треугольника, $AB$ и $AC$:

$2m_a < AB + AC$

Для медианы $m_c$, проведённой из вершины $C$ к стороне $AB$, неравенство будет связывать её со сторонами $BC$ и $AC$:

$2m_c < BC + AC$

Используя обозначения сторон $a, b, c$, система неравенств выглядит так:

$2m_a < c + b$

$2m_b < c + a$ (из пункта 3)

$2m_c < a + b$

Ответ: Аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$ имеют вид: $2m_a < AB + AC$ и $2m_c < BC + AC$.

5)

Для ответа на главный вопрос исследования сложим почленно три неравенства, полученные в предыдущих пунктах:

$(2m_a) + (2m_b) + (2m_c) < (AB + AC) + (AB + BC) + (BC + AC)$

Вынесем общий множитель 2 в левой части и сгруппируем слагаемые в правой:

$2(m_a + m_b + m_c) < 2AB + 2BC + 2AC$

$2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + BC + AC)$

Разделим обе части неравенства на 2:

$m_a + m_b + m_c < AB + BC + AC$

Слева стоит сумма длин медиан треугольника, а справа — его периметр $P$. Таким образом, мы доказали, что сумма длин медиан любого треугольника всегда меньше его периметра.

Ответ: Сумма длин медиан треугольника меньше его периметра: $m_a + m_b + m_c < P$.