Номер 776, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 776, страница 173.

776. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство:

а) $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc;$

б) $\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \ge abc.$

1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел $a$ и $b$.

2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

1) При доказательстве неравенств можно использовать различные свойства. Основные из них:

• Свойство транзитивности: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
• К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится: если $a > b$, то $a+c > b+c$.
• Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.
• Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.
• Неравенства одинакового знака можно почленно складывать: если $a > b$ и $c > d$, то $a+c > b+d$.
• Неравенства одинакового знака с неотрицательными членами можно почленно перемножать: если $a \ge b \ge 0$ и $c \ge d \ge 0$, то $ac \ge bd$.

Неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ (неравенство Коши), записывается так:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Его также часто используют в виде $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

2) Проведем доказательство каждого неравенства.

а) Докажем, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$.

Воспользуемся неравенством Коши ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждой из скобок в левой части:

1. Для чисел $a$ и $b$: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

2. Для чисел $b$ и $c$: $b+c \ge 2\sqrt{bc}$

3. Для чисел $a$ и $c$: $a+c \ge 2\sqrt{ac}$

Поскольку по условию $a, b, c$ неотрицательны, все части полученных неравенств также неотрицательны. Поэтому мы можем почленно их перемножить:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac})$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$8 \cdot \sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8 \cdot \sqrt{a^2b^2c^2} = 8|abc|$

Так как $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$, то их произведение $abc \ge 0$, и, следовательно, $|abc| = abc$.

Таким образом, мы доказали, что $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$.

Ответ: Неравенство $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$ доказано с помощью трехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, b), (b, c), (a, c)$ и последующего перемножения полученных неравенств.

б) Докажем, что при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ верно неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$.

Снова воспользуемся неравенством Коши ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждого из множителей в числителе дроби:

1. Для чисел $a$ и $1$: $a+1 \ge 2\sqrt{a \cdot 1} = 2\sqrt{a}$

2. Для чисел $b$ и $1$: $b+1 \ge 2\sqrt{b \cdot 1} = 2\sqrt{b}$

3. Для чисел $a$ и $c$: $a+c \ge 2\sqrt{ac}$

4. Для чисел $b$ и $c$: $b+c \ge 2\sqrt{bc}$

Все части этих четырех неравенств неотрицательны, поэтому мы можем их почленно перемножить:

$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge (2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{ac}) \cdot (2\sqrt{bc})$

Упростим правую часть:

$16 \cdot \sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc} = 16 \cdot \sqrt{a^2b^2c^2} = 16|abc|$

Так как $a, b, c$ неотрицательны, то $|abc|=abc$.

Мы получили неравенство: $(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) \ge 16abc$.

Теперь разделим обе части этого неравенства на положительное число 16. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge \frac{16abc}{16}$

$\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$

Ответ: Неравенство $\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \ge abc$ доказано с помощью четырехкратного применения неравенства Коши для пар $(a, 1), (b, 1), (a, c), (b, c)$, последующего перемножения и деления на 16.