Номер 779, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 779, страница 174.

779. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм$^2$. Каковы размеры первоначального листа жести?

Решение

Пусть сторона первоначального квадратного листа жести равна $x$ дм. Тогда его площадь составляет $x^2$ дм².

После того как от листа отрезали полосу шириной 5 дм, одна из сторон квадрата уменьшилась на 5 дм. Первоначальные размеры листа были $x$ на $x$. Новые размеры оставшейся части стали $x$ дм на $(x-5)$ дм. Эта оставшаяся часть представляет собой прямоугольник.

Площадь этого прямоугольника, согласно условию задачи, равна 6 дм². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон, поэтому мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x-5) = 6$

Для решения этого уравнения раскроем скобки и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 5x = 6$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае, $a=1$, $b=-5$, $c=-6$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны листа, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -1$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение — $x = 6$ дм.

Проверим это решение. Если первоначальный лист был квадратом со стороной 6 дм, то после отрезания полосы шириной 5 дм остался прямоугольник со сторонами 6 дм и $(6-5)=1$ дм. Его площадь равна $6 \cdot 1 = 6$ дм², что соответствует условию задачи.

Таким образом, первоначальный лист жести был квадратом с размерами 6 дм на 6 дм.

Ответ: размеры первоначального листа жести 6 дм × 6 дм.