Номер 778, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 778, страница 173.

778. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

1) Начертите произвольный треугольник $ABC$ и проведите медиану $BO$.

2) На луче $BO$ отложите отрезок $OD = BO$ и соедините точку $D$ с точками $A$ и $C$. Какой вид имеет четырёхугольник $ABCD$?

3) Рассмотрите треугольник $ABD$. Сравните $2m_b$ с суммой $BC + AB$ ($m_b$ — медиана $BO$).

4) Составьте аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$.

5) Используя сложение неравенств, оцените сумму $m_a + m_b + m_c$.

1)

Начертим произвольный треугольник $ABC$. Проведём медиану $BO$, где $O$ — середина стороны $AC$.

Пусть стороны треугольника равны $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. Периметр треугольника $P = a+b+c$.

Медианы, проведённые к сторонам $a$, $b$ и $c$, обозначим соответственно $m_a$, $m_b$ и $m_c$. В данном случае, $BO = m_b$.

2)

На луче $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OD$, равный отрезку $BO$. Соединим точку $D$ с точками $A$ и $C$. Получим четырёхугольник $ABCD$.

Рассмотрим диагонали этого четырёхугольника: $AC$ и $BD$.

По определению медианы, точка $O$ является серединой стороны $AC$, то есть $AO = OC$.

По построению, $BO = OD$. Это означает, что точка $O$ также является серединой отрезка $BD$.

Так как диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

3)

Рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — это $AB$, $AD$ и $BD$.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны. Для треугольника $ABD$ запишем неравенство:

$AB + AD > BD$

Так как $ABCD$ — параллелограмм (из пункта 2), его противоположные стороны равны. Следовательно, $AD = BC$.

Длина отрезка $BD$ по построению равна $BO + OD$. Поскольку $OD = BO$, то $BD = BO + BO = 2BO$.

Медиана $BO$ обозначена как $m_b$. Значит, $BD = 2m_b$.

Подставим эти выражения в неравенство треугольника:

$AB + BC > 2m_b$

Таким образом, удвоенная длина медианы $m_b$ меньше суммы сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: $2m_b < AB + BC$.

4)

Проведём аналогичные рассуждения для двух других медиан треугольника $ABC$: $m_a$ (медиана к стороне $BC$) и $m_c$ (медиана к стороне $AB$).

Для медианы $m_a$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$, аналогичное неравенство будет связывать её с двумя другими сторонами треугольника, $AB$ и $AC$:

$2m_a < AB + AC$

Для медианы $m_c$, проведённой из вершины $C$ к стороне $AB$, неравенство будет связывать её со сторонами $BC$ и $AC$:

$2m_c < BC + AC$

Используя обозначения сторон $a, b, c$, система неравенств выглядит так:

$2m_a < c + b$

$2m_b < c + a$ (из пункта 3)

$2m_c < a + b$

Ответ: Аналогичные неравенства для $2m_a$ и $2m_c$ имеют вид: $2m_a < AB + AC$ и $2m_c < BC + AC$.

5)

Для ответа на главный вопрос исследования сложим почленно три неравенства, полученные в предыдущих пунктах:

$(2m_a) + (2m_b) + (2m_c) < (AB + AC) + (AB + BC) + (BC + AC)$

Вынесем общий множитель 2 в левой части и сгруппируем слагаемые в правой:

$2(m_a + m_b + m_c) < 2AB + 2BC + 2AC$

$2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + BC + AC)$

Разделим обе части неравенства на 2:

$m_a + m_b + m_c < AB + BC + AC$

Слева стоит сумма длин медиан треугольника, а справа — его периметр $P$. Таким образом, мы доказали, что сумма длин медиан любого треугольника всегда меньше его периметра.

Ответ: Сумма длин медиан треугольника меньше его периметра: $m_a + m_b + m_c < P$.