Номер 771, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 771, страница 172.

771. Пользуясь тем, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$, оцените:

a) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$.

а) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$

Для того чтобы оценить сумму $\sqrt{6} + \sqrt{5}$, воспользуемся данными нам неравенствами:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Сложение неравенств одинакового знака производится почленно. То есть, чтобы найти нижнюю границу суммы, нужно сложить нижние границы слагаемых, а чтобы найти верхнюю границу — сложить верхние границы.

Сложим левые и правые части неравенств соответственно:

$2,4 + 2,2 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 2,5 + 2,3$

Выполним вычисления:

$4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$

Ответ: $4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$.

б) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$

Для оценки разности $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ мы также используем исходные неравенства:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Чтобы оценить разность, мы должны из оценки для $\sqrt{6}$ вычесть оценку для $\sqrt{5}$. Вычитание неравенств можно представить как сложение с противоположным числом. Сначала найдем оценку для $-\sqrt{5}$. Для этого умножим все части неравенства $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ на -1. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 2,2 > -1 \cdot \sqrt{5} > -1 \cdot 2,3$

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства дальнейших вычислений запишем это неравенство в порядке возрастания, от меньшего к большему:

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь мы можем сложить почленно неравенства для $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{5}$:

$2,4 + (-2,3) < \sqrt{6} + (-\sqrt{5}) < 2,5 + (-2,2)$

$2,4 - 2,3 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 2,5 - 2,2$

Выполним вычисления:

$0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$

Ответ: $0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$.