Страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

766. Перемножьте почленно неравенства:

а) $5 > 2$ и $4 > 3$;

б) $8 < 10$ и $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

а)

Даны два неравенства: $5 > 2$ и $4 > 3$.

Для того чтобы почленно перемножить неравенства, необходимо убедиться, что они одного знака и все их части положительны. В данном случае оба неравенства имеют знак «больше» ($>$), и все числа ($5, 2, 4, 3$) положительны. Следовательно, мы можем их перемножить.

Перемножим левые части неравенств: $5 \times 4 = 20$.

Перемножим правые части неравенств: $2 \times 3 = 6$.

Сохраняем знак исходных неравенств и получаем новое неравенство: $20 > 6$.

Это верное числовое неравенство, так как 20 действительно больше 6.

Ответ: $20 > 6$.

б)

Даны два неравенства: $8 < 10$ и $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Оба неравенства имеют знак «меньше» (<) и все их части ($8, 10, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$) являются положительными числами. Это позволяет нам выполнить почленное умножение.

Выполним умножение левых частей: $8 \times \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Выполним умножение правых частей: $10 \times \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Запишем результат, сохранив знак неравенства «меньше»: $2 < 5$.

Это верное числовое неравенство, так как 2 действительно меньше 5.

Ответ: $2 < 5$.

767. Верно ли для положительных чисел a и b, что:

а) если $a^2 > b^2$, то $a^3 > b^3$;

б) если $a^3 > b^3$, то $a^2 > b^2$?

а) Да, это утверждение верно.

По условию, числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и выполняется неравенство $a^2 > b^2$. Преобразуем это неравенство, перенеся $b^2$ в левую часть:

$a^2 - b^2 > 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(a - b)(a + b) > 0$

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, их сумма $(a + b)$ также положительна. Чтобы произведение двух множителей было положительным, при условии, что один из них ($a+b$) положителен, второй множитель ($a-b$) также должен быть положительным.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^3 > b^3$. Функция $y = x^3$ является строго возрастающей для любых действительных чисел. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $a > b$, то и $a^3 > b^3$.

Можно также рассмотреть разность $a^3 - b^3$. По формуле разности кубов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Мы уже установили, что множитель $(a - b)$ положителен. Второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также положителен, так как $a > 0$ и $b > 0$, а значит $a^2 > 0$, $ab > 0$ и $b^2 > 0$. Произведение двух положительных выражений всегда положительно, поэтому $a^3 - b^3 > 0$, что и доказывает неравенство $a^3 > b^3$.

Ответ: да, верно.

б) Да, это утверждение также верно.

По условию, числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и выполняется неравенство $a^3 > b^3$. Преобразуем это неравенство:

$a^3 - b^3 > 0$

Разложим левую часть по формуле разности кубов:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$

Рассмотрим множитель $(a^2 + ab + b^2)$. Поскольку $a$ и $b$ положительны, каждое слагаемое в этой сумме положительно ($a^2 > 0$, $ab > 0$, $b^2 > 0$). Следовательно, вся сумма $(a^2 + ab + b^2)$ положительна.

Для того чтобы произведение $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ было положительным, при условии что второй множитель положителен, первый множитель $(a - b)$ также должен быть положительным. Отсюда следует, что $a - b > 0$, то есть $a > b$.

Теперь нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^2 > b^2$. Функция $y = x^2$ является строго возрастающей для положительных значений $x$. Так как $a > b$ и оба числа положительны ($a > b > 0$), то и $a^2 > b^2$.

Аналогично пункту а), можно рассмотреть разность $a^2 - b^2$:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Мы установили, что $(a - b) > 0$. Сумма положительных чисел $(a + b)$ также положительна. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому $a^2 - b^2 > 0$, что доказывает неравенство $a^2 > b^2$.

Ответ: да, верно.

768. Пусть $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$. Оцените:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$.

а) $a + b$;
Для того чтобы оценить сумму $a+b$, необходимо сложить почленно данные неравенства. Сложение неравенств одного знака является допустимой операцией.
Исходные неравенства:
$3 < a < 4$
$4 < b < 5$
Складываем левые и правые части соответственно:
$3 + 4 < a + b < 4 + 5$
$7 < a + b < 9$
Таким образом, значение суммы $a+b$ находится в интервале от 7 до 9.
Ответ: $7 < a + b < 9$

б) $a - b$;
Для оценки разности $a-b$ представим ее в виде суммы $a + (-b)$. Для этого сначала найдем интервал для $-b$.
Имеем неравенство $4 < b < 5$. Умножим все его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -b > -5$
Запишем это неравенство в привычном виде (от меньшего к большему):
$-5 < -b < -4$
Теперь сложим почленно неравенство для $a$ и полученное неравенство для $-b$:
$3 < a < 4$
$-5 < -b < -4$
$3 + (-5) < a + (-b) < 4 + (-4)$
$-2 < a - b < 0$
Таким образом, значение разности $a-b$ находится в интервале от -2 до 0.
Ответ: $-2 < a - b < 0$

в) $ab$;
Для оценки произведения $ab$, поскольку все части данных неравенств $3 < a < 4$ и $4 < b < 5$ являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить.
Исходные неравенства:
$3 < a < 4$
$4 < b < 5$
Перемножаем левые и правые части соответственно:
$3 \cdot 4 < ab < 4 \cdot 5$
$12 < ab < 20$
Таким образом, значение произведения $ab$ находится в интервале от 12 до 20.
Ответ: $12 < ab < 20$

г) $\frac{a}{b}$.
Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала найдем интервал для величины $\frac{1}{b}$.
Имеем неравенство $4 < b < 5$. Так как все его части положительны, мы можем взять обратные величины, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{1}{4} > \frac{1}{b} > \frac{1}{5}$
Запишем это неравенство в привычном виде (от меньшего к большему):
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
Теперь перемножим почленно неравенство для $a$ и полученное неравенство для $\frac{1}{b}$. Обе переменные ($a$ и $\frac{1}{b}$) находятся в интервалах положительных чисел, поэтому операция умножения допустима.
$3 < a < 4$
$\frac{1}{5} < \frac{1}{b} < \frac{1}{4}$
$3 \cdot \frac{1}{5} < a \cdot \frac{1}{b} < 4 \cdot \frac{1}{4}$
$\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$
Таким образом, значение частного $\frac{a}{b}$ находится в интервале от $\frac{3}{5}$ до 1.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{a}{b} < 1$

769. Зная, что $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$, оцените:

а) $x + y$;

б) $y - x$;

в) $xy$;

г) $\frac{y}{x}$.

а) $x + y$;

Для того чтобы оценить сумму $x + y$, необходимо сложить почленно данные неравенства. У нас есть два неравенства: $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$.

Сложим левые части неравенств и правые части неравенств соответственно:

$6 + 10 < x + y < 7 + 12$

Выполним сложение:

$16 < x + y < 19$

Таким образом, значение суммы $x+y$ находится в интервале от 16 до 19.

Ответ: $16 < x + y < 19$.

б) $y - x$;

Для оценки разности $y - x$, необходимо сначала найти оценку для $-x$. Возьмем неравенство $6 < x < 7$ и умножим все его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 > -x > -7$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-7 < -x < -6$

Теперь сложим почленно неравенство для $y$ ($10 < y < 12$) и полученное неравенство для $-x$:

$10 + (-7) < y + (-x) < 12 + (-6)$

$3 < y - x < 6$

Следовательно, значение разности $y-x$ находится в интервале от 3 до 6.

Ответ: $3 < y - x < 6$.

в) $xy$;

Для оценки произведения $xy$, необходимо перемножить почленно данные неравенства. Это можно делать, так как все части неравенств $6 < x < 7$ и $10 < y < 12$ являются положительными числами.

Перемножим левые и правые части неравенств:

$6 \cdot 10 < xy < 7 \cdot 12$

Выполним умножение:

$60 < xy < 84$

Значит, значение произведения $xy$ находится в интервале от 60 до 84.

Ответ: $60 < xy < 84$.

г) $\frac{y}{x}$.

Для оценки частного $\frac{y}{x}$ мы будем действовать по аналогии с умножением, представив деление как умножение на обратную величину. Сначала найдем оценку для $\frac{1}{x}$.

Из неравенства $6 < x < 7$ (где все части положительны) следует, что при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{6} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7}$

Запишем это в стандартном виде:

$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{6}$

Теперь умножим почленно неравенство для $y$ ($10 < y < 12$) на полученное неравенство для $\frac{1}{x}$:

$10 \cdot \frac{1}{7} < y \cdot \frac{1}{x} < 12 \cdot \frac{1}{6}$

Выполним вычисления:

$\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$

Таким образом, значение частного $\frac{y}{x}$ находится в интервале от $\frac{10}{7}$ до 2.

Ответ: $\frac{10}{7} < \frac{y}{x} < 2$.

770. Пользуясь тем, что $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, оцените:

а) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

а) Для того чтобы оценить выражение $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, воспользуемся правилом сложения неравенств. У нас есть два неравенства:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Сложим левые и правые части этих неравенств соответственно:

$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$

Выполнив сложение, получаем:

$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$.

б) Чтобы оценить выражение $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, воспользуемся правилом вычитания неравенств. Нам нужно из оценки для $\sqrt{3}$ вычесть оценку для $\sqrt{2}$.

Исходные неравенства:

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Чтобы вычесть второе неравенство из первого, мы можем умножить второе неравенство на -1 (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные) и затем сложить его с первым. Умножим неравенство для $\sqrt{2}$ на -1:

$-1 \cdot 1,5 < -1 \cdot \sqrt{2} < -1 \cdot 1,4$

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь сложим это неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$:

$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$

$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$

Выполнив вычитание, получаем:

$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$.

771. Пользуясь тем, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$, оцените:

a) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$.

а) $\sqrt{6} + \sqrt{5}$

Для того чтобы оценить сумму $\sqrt{6} + \sqrt{5}$, воспользуемся данными нам неравенствами:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Сложение неравенств одинакового знака производится почленно. То есть, чтобы найти нижнюю границу суммы, нужно сложить нижние границы слагаемых, а чтобы найти верхнюю границу — сложить верхние границы.

Сложим левые и правые части неравенств соответственно:

$2,4 + 2,2 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 2,5 + 2,3$

Выполним вычисления:

$4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$

Ответ: $4,6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4,8$.

б) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$

Для оценки разности $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ мы также используем исходные неравенства:

$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Чтобы оценить разность, мы должны из оценки для $\sqrt{6}$ вычесть оценку для $\sqrt{5}$. Вычитание неравенств можно представить как сложение с противоположным числом. Сначала найдем оценку для $-\sqrt{5}$. Для этого умножим все части неравенства $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ на -1. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 2,2 > -1 \cdot \sqrt{5} > -1 \cdot 2,3$

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства дальнейших вычислений запишем это неравенство в порядке возрастания, от меньшего к большему:

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь мы можем сложить почленно неравенства для $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{5}$:

$2,4 + (-2,3) < \sqrt{6} + (-\sqrt{5}) < 2,5 + (-2,2)$

$2,4 - 2,3 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 2,5 - 2,2$

Выполним вычисления:

$0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$

Ответ: $0,1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0,3$.

772. Известны границы длин основания $a$ и боковой стороны $b$ равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах:

$26 \le a \le 28 \text{ и } 41 \le b \le 43.$

Оцените периметр этого треугольника.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон. В данном случае это основание $a$ и две одинаковые боковые стороны $b$. Формула для периметра:

$P = a + b + b = a + 2b$

В задаче даны следующие ограничения (неравенства) для длин сторон:

1) $26 \le a \le 28$

2) $41 \le b \le 43$

Чтобы найти границы для периметра $P$, нам нужно оценить выражение $a + 2b$. Для этого сначала найдем границы для величины $2b$. Умножим все части второго неравенства на 2:

$2 \cdot 41 \le 2 \cdot b \le 2 \cdot 43$

$82 \le 2b \le 86$

Теперь у нас есть два неравенства:

$26 \le a \le 28$

$82 \le 2b \le 86$

Чтобы найти минимальное значение периметра, нужно сложить минимальные значения $a$ и $2b$. Чтобы найти максимальное значение периметра, нужно сложить максимальные значения $a$ и $2b$. Сложим эти неравенства почленно:

$26 + 82 \le a + 2b \le 28 + 86$

Выполним сложение:

$108 \le P \le 114$

Следовательно, периметр треугольника находится в границах от 108 мм до 114 мм включительно.

Ответ: $108 \le P \le 114$.