Номер 767, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Сложение и умножение числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 767, страница 172.

767. Верно ли для положительных чисел a и b, что:

а) если $a^2 > b^2$, то $a^3 > b^3$;

б) если $a^3 > b^3$, то $a^2 > b^2$?

а) Да, это утверждение верно.

По условию, числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и выполняется неравенство $a^2 > b^2$. Преобразуем это неравенство, перенеся $b^2$ в левую часть:

$a^2 - b^2 > 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(a - b)(a + b) > 0$

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, их сумма $(a + b)$ также положительна. Чтобы произведение двух множителей было положительным, при условии, что один из них ($a+b$) положителен, второй множитель ($a-b$) также должен быть положительным.

Следовательно, $a - b > 0$, что означает $a > b$.

Теперь нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^3 > b^3$. Функция $y = x^3$ является строго возрастающей для любых действительных чисел. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $a > b$, то и $a^3 > b^3$.

Можно также рассмотреть разность $a^3 - b^3$. По формуле разности кубов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Мы уже установили, что множитель $(a - b)$ положителен. Второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также положителен, так как $a > 0$ и $b > 0$, а значит $a^2 > 0$, $ab > 0$ и $b^2 > 0$. Произведение двух положительных выражений всегда положительно, поэтому $a^3 - b^3 > 0$, что и доказывает неравенство $a^3 > b^3$.

Ответ: да, верно.

б) Да, это утверждение также верно.

По условию, числа $a$ и $b$ положительные ($a > 0$, $b > 0$) и выполняется неравенство $a^3 > b^3$. Преобразуем это неравенство:

$a^3 - b^3 > 0$

Разложим левую часть по формуле разности кубов:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$

Рассмотрим множитель $(a^2 + ab + b^2)$. Поскольку $a$ и $b$ положительны, каждое слагаемое в этой сумме положительно ($a^2 > 0$, $ab > 0$, $b^2 > 0$). Следовательно, вся сумма $(a^2 + ab + b^2)$ положительна.

Для того чтобы произведение $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ было положительным, при условии что второй множитель положителен, первый множитель $(a - b)$ также должен быть положительным. Отсюда следует, что $a - b > 0$, то есть $a > b$.

Теперь нужно проверить, следует ли из $a > b$ неравенство $a^2 > b^2$. Функция $y = x^2$ является строго возрастающей для положительных значений $x$. Так как $a > b$ и оба числа положительны ($a > b > 0$), то и $a^2 > b^2$.

Аналогично пункту а), можно рассмотреть разность $a^2 - b^2$:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Мы установили, что $(a - b) > 0$. Сумма положительных чисел $(a + b)$ также положительна. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому $a^2 - b^2 > 0$, что доказывает неравенство $a^2 > b^2$.

Ответ: да, верно.