Номер 764, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 764, страница 169.

764. Решите уравнение:

a) $\frac{8x^2 - 3}{5} - \frac{5 - 9x^2}{4} = 2;$

Б) $\frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x^3 + 1};$

В) $\frac{10}{x^2 - 4} - \frac{3}{2x - 4} = \frac{1}{2};$

Г) $x - \frac{x^2 - 17}{x - 3} = \frac{5}{x}.$

а) $\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4} = 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20:

$20 \cdot \left(\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4}\right) = 20 \cdot 2$

$4(8x^2-3) - 5(5-9x^2) = 40$

Раскроем скобки:

$32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(32+45)x^2 - (12+25) = 40$

$77x^2 - 37 = 40$

Перенесем -37 в правую часть уравнения, изменив знак:

$77x^2 = 40 + 37$

$77x^2 = 77$

Разделим обе части на 77:

$x^2 = 1$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

б) $\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1}$

Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю.

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Выражение $x^2-x+1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x^2-x+1)$, учитывая ОДЗ:

$2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1$

Раскроем скобки:

$2x+2 - x^2+x-1 = 2x-1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2+3x+1 = 2x-1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$-x^2+3x-2x+1+1 = 0$

$-x^2+x+2 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2-x-2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8=9$.

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-3}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$). Корень $x_2=-1$ является посторонним. Единственным решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

в) $\frac{10}{x^2-4} - \frac{3}{2x-4} = \frac{1}{2}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$2x-4 = 2(x-2)$

Перепишем уравнение:

$\frac{10}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Общий знаменатель $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 \cdot 2 - 3 \cdot (x+2) = 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$20 - 3x - 6 = x^2 - 4$

$14 - 3x = x^2 - 4$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2+3x-4-14$

$x^2+3x-18 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9+72=81$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{81}}{2} = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{81}}{2} = \frac{-3-9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: $-6; 3$.

г) $x - \frac{x^2-17}{x-3} = \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель $x(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$x \cdot x(x-3) - (x^2-17) \cdot x = 5 \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$x^2(x-3) - x^3 + 17x = 5x - 15$

$x^3 - 3x^2 - x^3 + 17x = 5x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 17x = 5x - 15$

Перенесем все в левую часть:

$-3x^2 + 17x - 5x + 15 = 0$

$-3x^2 + 12x + 15 = 0$

Разделим уравнение на -3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16+20=36$.

$x_1 = \frac{4+\sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{4-\sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-1; 5$.